Вектор е физическа величина, която има както величина, така и посока (например скорост, ускорение и изместване), за разлика от скалар, който се състои само от величина (например скорост, разстояние или енергия). Ако скаларите могат да се добавят чрез добавяне на величини (например 5 kJ работа плюс 6 kJ работа се равнява на 11 kJ работа), векторите са малко трудни за добавяне или изваждане. Вижте стъпка 1 по -долу, за да научите някои начини за добавяне или изваждане на вектори.
Стъпка
Метод 1 от 3: Добавяне и изваждане на вектори, чиито компоненти са известни
Стъпка 1. Запишете мерните компоненти на вектора във векторна нотация
Тъй като векторите имат величина и посока, те обикновено могат да бъдат разделени на части въз основа на размерите x, y и/или z. Тези размери обикновено се изписват в подобна нотация, за да се опише точка в координатна система (напр. И други). Ако знаете тази част, добавянето или изваждането на вектори е много лесно, просто добавете или извадете техните координати x, y и z.
- Забележете дали размерите на вектора са 1, 2 или 3. По този начин векторът може да има компоненти x, x и y или x, y и z. Следващият ни пример използва триизмерен вектор, но процесът е като 1- или двуизмерен вектор.
- Да предположим, че имаме два триизмерни вектора, вектор А и вектор В. Можем да запишем тези вектори, използвайки векторни записи като A = и B =, където a1 и a2 са x компоненти, b1 и b2 са y компоненти, а c1 и c2 са компоненти z.
Стъпка 2. За да добавите двата вектора, добавете техните компоненти
Ако двата компонента на вектора са известни, можете да добавите векторите, като добавите компонентите на всеки. С други думи, добавете x-компонентата на първия вектор към x-компонентата на втория вектор и направете същото за y и z. Отговорът, който получавате, като добавите компонентите x, y и z на тези вектори, е компонентите x, y и z на вашия нов вектор.
- Най -общо казано, A+B =.
- Нека добавим два вектора A и B. A = и B =. A + B =, или.
Стъпка 3. За да извадите двата вектора, извадете техните компоненти
Както ще обсъдим по -късно, изваждането на един вектор от друг може да се мисли като добавяне на неговите реципрочни вектори. Ако компонентите на двата вектора са известни, е възможно да се извади един вектор от друг чрез изваждане на първия компонент от втория компонент (или чрез добавяне на отрицателните компоненти на двата).
- Най -общо казано, А-В =
- Нека извадим два вектора A и B. A = и B =. A - B =, или.
Метод 2 от 3: Добавяне и изваждане със снимки с помощта на метода на главата и опашката
Стъпка 1. Символизирайте вектора, като го нарисувате с помощта на главата и опашката
Тъй като векторите имат както величина, така и посока, можем да кажем, че имат опашка и глава. С други думи, векторът има начална и крайна точка, която показва посоката на вектора, чието разстояние от началната точка е равно на величината на вектора. Когато е нарисуван, векторът има формата на стрела. Върхът на стрелката е главата на вектора, а краят на векторната линия е опашката.
Ако създавате векторен чертеж с размери, ще трябва да измерите и нарисувате точно всички ъгли. Неправилният ъгъл на изображението ще повлияе на получения резултат, когато два вектора се добавят или извадят с помощта на този метод
Стъпка 2. За да добавите, нарисувате или преместите втория вектор, така че опашката да се срещне с главата на първия вектор
Това се нарича комбиниране на вектори от главата до опашката. Ако просто събирате два вектора, ето какво трябва да направите, преди да намерите резултантния вектор.
Обърнете внимание, че редът, в който добавяте вектори, няма значение, ако приемете, че използвате една и съща отправна точка. Вектор A + Вектор B = Вектор B + Veltor A
Стъпка 3. За изваждане добавете отрицателен знак към вектора
Намаляването на векторите с помощта на изображения е много просто. Обърнете посоката на вектора, но запазете същата величина и добавете векторна глава и опашка както обикновено. С други думи, за да извадите вектор, завъртете вектора 180o и добавете.
Стъпка 4. Ако добавяте или изваждате повече от два вектора, комбинирайте всички вектори в ред от глава до опашка
Редът на сливане няма значение. Този метод може да се използва независимо от броя на векторите.
Стъпка 5. Начертайте нов вектор от опашката на първия вектор до главата на последния вектор
Независимо дали добавяте/изваждате два вектора или сто, векторът, който се простира от началната ви начална точка (опашката на първия вектор) до крайната точка на последния ви вектор (главата на последния ви вектор) е резултантният вектор или сумата от всички ваши вектори. Обърнете внимание, че този вектор е абсолютно същият като вектора, получен чрез събиране на всички компоненти x, y и/или z.
- Ако нарисувате всичките си вектори по размер, като измервате правилно всички ъгли, можете да определите величината на получения вектор чрез измерване на дължината. Можете също така да измерите ъгъла между резултантния и всеки вектор хоризонтално или вертикално, за да определите неговата посока.
- Ако не нарисувате всичките си вектори по размер, може да се наложи да изчислите величината на резултата, като използвате тригонометрия. Може би правилата за синус и косинус ще помогнат. Ако добавите повече от два вектора, е полезно да добавите първия вектор до втория, след което да добавите резултата от втория към третия и т.н. Вижте следващите раздели за повече информация.
Стъпка 6. Начертайте резултантния вектор, като използвате неговата величина и посока
Вектор се определя от неговата дължина и посока. Както по -горе, ако приемем, че сте начертали вектора точно, величината на новия ви вектор е неговата дължина и посоката му е ъгълът спрямо вертикалната или хоризонталната посока. Използвайте единичните вектори, които добавяте или изваждате, за да определите мерните единици за величината на получения резултат.
Например, ако добавените вектори представляват скорост в ms-1, тогава полученият вектор може да бъде дефиниран като "скорост x ms-1 срещу y o към хоризонталната посока.
Метод 3 от 3: Добавяне и изваждане на вектори чрез задаване на векторни размерни компоненти
Стъпка 1. Използвайте тригонометрия, за да определите компонентите на вектор
За да намерите компонентите на вектор, обикновено трябва да знаете неговата величина и посока спрямо хоризонталната или вертикалната посока и да разбирате тригонометрията. Ако приемем двуизмерен вектор, първо помислете за вашия вектор като хипотенуза на правоъгълен триъгълник, чиито две страни са успоредни на посоките x и y. Тези две страни могат да се разглеждат като компоненти на вектор от главата до опашката, които се събират, за да образуват вашия вектор.
- Дължините на двете страни са равни на x и y компонентите на вашия вектор и могат да бъдат изчислени с помощта на тригонометрия. Ако x е векторна величина, страната, съседна на векторния ъгъл (спрямо хоризонталната, вертикалната и други посоки) е xcos (θ), докато противоположната страна е xsin (θ).
- Също така е много важно да се отбележи посоката на вашите компоненти. Ако компонентът сочи към отрицателна координата, той получава отрицателен знак. Например, в двуизмерна равнина, ако компонент е насочен наляво или надолу, той е отрицателен.
- Например, да предположим, че имаме вектор с величина 3 и посока 135o спрямо хоризонталата. С тази информация можем да определим, че x компонентът е 3cos (135) = - 2, 12 и y компонента е 3sin (135) = 2, 12
Стъпка 2. Добавете или извадете два или повече свързани вектора
След като намерите компонентите на всичките си вектори, ги съберете, за да намерите компонентите на резултантния вектор. Първо, добавете всички величини на хоризонталните компоненти (които са успоредни на посоката x). Отделно добавете всички величини на вертикалните компоненти (които са успоредни на посоката y). Ако компонент е отрицателен (-), неговата величина се изважда, а не се добавя. Отговорът, който получавате, е компонентът на получения резултат.
Например, векторът от предишната стъпка,, се добавя към вектора. В този случай полученият вектор става или
Стъпка 3. Изчислете величината на получения вектор с помощта на Питагоровата теорема
Питагорова теорема c2= а2+б2, се използва за намиране на дължината на страната на правоъгълен триъгълник. Тъй като триъгълникът, образуван от резултантния вектор и неговите компоненти, е правоъгълен триъгълник, можем да го използваме, за да намерим дължината и величината на вектора. С c като величината на получения вектор, който търсите, да предположим, че а е величината на x компонента, а b е величината на y компонентата. Решете с помощта на алгебра.
-
За да намерите величината на вектора, чиито компоненти търсихме в предишната стъпка, използвайте Питагоровата теорема. Решете, както следва:
- ° С2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- ° С2=13, 40+47, 33
- c = √60, 73 = 7, 79
Стъпка 4. Изчислете получената посока, като използвате функцията Tangent
Накрая намерете резултантния вектор на посоката. Използвайте формулата = загар-1(b/a), където е размерът на ъгъла, образуван в x или хоризонталната посока, b е размерът на y компонента, а a е размерът на x компонента.
-
За да намерите посоката на нашия вектор, използвайте = tan-1(б/а).
- = тен-1(-6, 88/3, 66)
- = тен-1(-1, 88)
- = -61, 99o
Стъпка 5. Начертайте резултантния вектор според неговата величина и посока
Както е написано по -горе, векторите се определят от тяхната величина и посока. Уверете се, че използвате подходящите единици за вашия векторен размер.
Например, ако нашият векторен пример представлява сила (в Нютони), тогава можем да я запишем "сила 7.79 N на -61.99 o до хоризонтално ".
Съвети
- Вектор е различен от големия.
- Векторите със същата посока могат да се добавят или изваждат чрез добавяне или изваждане на техните величини. Ако ти обобщавам два вектора, които са противоположни, техните величини се изваждат, а не се добавят.
- Векторите, представени под формата x i + y j + z k, могат да се добавят или изваждат чрез добавяне или изваждане на коефициентите на трите единични вектора. Отговорът също е под формата на i, j и k.
- Можете да намерите размера на триизмерен вектор, като използвате формулата a2= b2+c2+d2 където a е величината на вектора, а b, c и d са компонентите на всяка посока.
- Векторите на колоните могат да се добавят и изваждат чрез добавяне или изваждане на стойностите на всеки ред.
