Питагоровата теорема описва дължините на страните на правоъгълен триъгълник по елегантен и практичен начин, така че тази теорема е широко използвана и днес. Тази теорема гласи, че за всеки правоъгълен триъгълник сумата от квадратите на ненаклонените страни е равна на квадрата на хипотенузата. С други думи, за правоъгълен триъгълник с перпендикулярни страни a и b и хипотенуза c, а2 + б2 = c2.
Питагоровата теорема е един от основните стълбове на елементарната геометрия. Има безброй приложения, използващи тази теорема, например, за да се улесни намирането на разстоянието между две точки на координатна равнина.
Стъпка
Метод 1 от 2: Намиране на страните на правоъгълен триъгълник
Стъпка 1. Уверете се, че вашият триъгълник е правоъгълен триъгълник
Питагоровата теорема се прилага само за правоъгълни триъгълници, така че преди да продължите е много важно да се уверите, че вашите триъгълници съответстват на свойствата на правоъгълните триъгълници. За щастие има един фактор, който може да покаже, че вашият триъгълник е правоъгълен триъгълник. Вашият триъгълник трябва да има един ъгъл от 90 градуса.
Като знак, десните триъгълници често се маркират с малки квадратчета, за да се отбележат ъглите на 90 градуса, без да се използват извити "криви". Потърсете този конкретен знак в ъгъла на вашия триъгълник
Стъпка 2. Дайте променливите a, b и c за страните на вашия триъгълник
В Питагоровата теорема променливите a и b представляват страните, които се срещат в десния триъгълник, докато променливата c представлява хипотенузата - дългата страна срещу правия ъгъл. Така че, за начало маркирайте късите страни на вашия триъгълник с променливите a и b (няма значение дали ги разменяте) и маркирайте хипотенузата с променливата c.
Стъпка 3. Решете коя страна на триъгълника искате да решите
Питагоровата теорема позволява на математиците да намерят дължината на всяка страна на правоъгълен триъгълник, стига да знаят дължините на другите две страни. Определете коя страна е неизвестна - a, b и/или c. Ако дължината на една от страните ви е неизвестна, вие сте готови да продължите.
- Например, ние знаем, че дължината на хипотенузата на триъгълник е 5, а дължината на една от другите страни е 3, но не сме сигурни за дължината на третата страна. В този случай знаем, че търсим дължината на третата страна и тъй като знаем дължините на другите две, можем да я решим! Ще работим по този проблем със следните стъпки.
- Ако не знаете дължините на две страни, трябва да знаете една от страните, за да можете да използвате Питагоровата теорема. Основните тригонометрични функции могат да ви помогнат, ако знаете едната страна на триъгълник, която не е наклонена.
Стъпка 4. Включете двустранните стойности, които вече знаете, в уравнението
Включете дължините на страните на вашия триъгълник в уравнението а2 + б2 = c2. Не забравяйте, че a и b са наклонени страни, докато c е хипотенузата.
В нашия пример знаем дължината на една от страните и хипотенузата (3 и 5), така че уравнението става 3² + b² = 5²
Стъпка 5. Квадрат
За да разрешите уравнението си, започнете с квадратиране на известните страни. Като алтернатива, ако смятате, че това е по -лесно, можете да оставите дължините на страните си на квадрат и да ги квадратирате по -късно.
-
В нашия пример ще квадрат 3 и 5, така че да получим
Стъпка 9. да
Стъпка 25.. Можем да напишем уравнението като 9 + b² = 25.
Стъпка 6. Преместете неизвестната променлива в другата страна на уравнението
Ако е необходимо, използвайте основни алгебрични операции, за да накарате неизвестната променлива да се премести в другата страна на уравнението, а квадратът на другите две променливи в другата страна. Ако искате да намерите дължината на хипотенузата, c вече е от другата страна на уравнението, така че не е нужно да правите нищо, за да я преместите.
В нашия пример текущото уравнение е 9 + b² = 25. За да преместите b², извадете двете страни на уравнението с 9, така че резултатът е b² = 16
Стъпка 7. Квадратен корен от двете страни на уравнението
Сега само една променлива е на квадрат от едната страна и номер от другата. Квадратен корен от двете страни, за да се намери дължината на неизвестната страна.
-
В нашия пример b² = 16, като вземем квадратния корен от двете страни, получаваме b = 4. По този начин можем да кажем, че дължината на неизвестната страна на триъгълника е
Стъпка 4..
Стъпка 8. Използвайте Питагоровата теорема, за да намерите страните на истински правоъгълен триъгълник
Причината Питагоровата теорема да се използва широко днес е, че може да се приложи към безброй практически ситуации. Научете се да познавате правилните триъгълници в реалния живот - във всяка ситуация, когато два обекта или прави линии се срещат под прав ъгъл и третият обект или линия се свързва двата обекта или линии по диагонал, тогава можете да използвате теоремата на Питагор, за да намерите дължината на страната другата, ако дължините на другите две страни са известни.
-
Нека опитаме реален пример, който е малко по -труден. Стълба се обляга на сграда. Разстоянието от дъното на стълбите до стената е 5 метра. Височината на стълбите достига 20 метра. Колко дълга е стълбата?
-
5 метра от стената и 20 метра височина ни казва дължините на страните на триъгълника. Тъй като стената и земята (предполага се) образуват прав ъгъл и стълбата е подпряна диагонално към стената, това подреждане може да се счита за правоъгълен триъгълник със странични дължини a = 5 и b = 20. Дължината на стълбата е хипотенузата, така че стойността на c не е известна. Нека използваме Питагоровата теорема:
- a² + b² = c²
- (5) ² + (20) ² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- корен (425) = c
- с = 20,6. Приблизителната дължина на стълбата е 20,6 метра.
-
Метод 2 от 2: Изчисляване на разстоянието между две точки в равнината X-Y
Стъпка 1. Намерете две точки в равнината X-Y
Питагоровата теорема може лесно да се използва за изчисляване на праволинейното разстояние между две точки в равнината X-Y. Всичко, което трябва да знаете, са координатите x и y на двете точки. Обикновено тези координати се изписват заедно под формата (x, y).
За да намерим разстоянието между тези две точки, ще разгледаме всяка точка като един от неправите ъгли на правоъгълен триъгълник. Това ще улесни намирането на дължините на страни a и b и след това ще се изчисли хипотенузата c, която е разстоянието между двете точки
Стъпка 2. Начертайте двете си точки в изображението
В обикновена X-Y равнина всяка точка (x, y), x представлява хоризонтална координата, а y представлява вертикална координата. Можете да намерите разстоянието между двете точки, без да го нарисувате, но това ще ви даде визуално изображение, което можете да използвате, за да видите дали отговорът ви е правилен.
Стъпка 3. Намерете дължината на наклонената страна на вашия триъгълник
Използвайки двете точки като ъглите на триъгълника в съседство с хипотенузата, намерете дължините на страните a и b на триъгълника. Можете да направите това, като използвате изображение или формулата | x1 - х2| за хоризонталната страна и | y1 - у2| за вертикалната страна, с (x1, y1) като първа точка и (x2, y2) като втора точка.
-
Нека нашите две точки са (6, 1) и (3, 5). Дължината на хоризонталната страна на нашия триъгълник е:
- | x1 - х2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
Стъпка 3.
-
Дължината на вертикалната страна е:
- | y1 - у2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
Стъпка 4.
- И така, в нашия десен триъгълник, страна a = 3 и страна b = 4.
Стъпка 4. Използвайте Питагоровата теорема, за да намерите дължината на хипотенузата
Разстоянието между две точки е дължината на хипотенузата на триъгълника, чиито две страни току -що открихте. Използвайте Питагоровата теорема, за да намерите хипотенузата, където a е дължината на първата страна и b е дължината на втората страна.
-
В нашия пример използваме точките (3, 5) и (6, 1), чиито странични дължини са 3 и 4, така че можем да намерим хипотенузата, както следва:
-
- (3) ²+(4) ² = c²
- c = корен (9+16)
- c = корен (25)
-
c = 5. Разстоянието между (3, 5) и (6, 1) е
Стъпка 5..
-
Съвети
-
Хипотенузата винаги е:
- срещу прав ъгъл (без да докосвате правия ъгъл)
- най -дългата страна в правоъгълен триъгълник
- наречена c в питагорейската теорема
- корен (x) означава квадратен корен от x.
- Не забравяйте винаги да проверявате отговорите си. Ако отговорът ви изглежда грешен, опитайте отново и опитайте отново.
- Ако триъгълникът не е правоъгълен, имате нужда от допълнителна информация, а не само от дължините на другите две страни.
- Друг начин за проверка - най -дългата страна е срещу най -големия ъгъл, а най -късата страна е срещу най -малкия ъгъл.
- Цифрите са ключът към записването на правилните стойности за a, b и c. Ако работите върху проблем с история, не забравяйте първо да запишете проблема във формата на картина.
- Ако знаете само дължината на едната страна, питагорейската теорема не работи. Опитайте да използвате тригонометрия (sin, cos, загар) или съотношения 30-60-90 / 45-45-90.
