3 начина за факториране на тринома

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-15 08:09

Триномиалът е алгебричен израз, състоящ се от три члена. Най -вероятно ще започнете да се учите как да разпределяте квадратичен триномиал, което означава трином, написан под формата ax² + bx + c. Има няколко трика, които трябва да научите, които могат да се използват за много различни типове квадратни триноми, но ще можете да ги използвате по -добре и по -бързо с практиката. Полиноми от по -висок ред, с термини като x³ или x⁴, не винаги може да бъде решен по един и същи начин, но често можете да използвате просто факторинг или заместване, за да го превърнете в проблем, който може да бъде решен като всяка друга квадратна формула.

Стъпка

Метод 1 от 3: Факторинг x² + bx + c

Стъпка 1. Научете PLDT умножение

Може да сте научили как да умножавате PLDT или „Първо, вън, вътре, последно“, за да умножавате изрази като (x+2) (x+4). Полезно е да знаете как работи това умножение, преди да вземем предвид:

• Умножете племената Първо: (х+2)(х+4) = х² + _

• Умножете племената Отвън: (х+2) (x+

  Стъпка 4.) = х²+ 4x + _

• Умножете племената В: (x+

  Стъпка 2.)(х+4) = х²+4x+ 2x + _

• Умножете племената Финал: (x+

  Стъпка 2.)(х

  Стъпка 4.) = х²+4x+2x

  Стъпка 8.

• Опростете: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

Стъпка 2. Разберете факторинга

Когато умножите два бинома с помощта на метода PLDT, получавате триномиал (израз с три члена) във формата a x²+ b x+ c, където a, b и c са обикновени числа. Ако започнете с уравнение със същата форма, можете да го разделите отново на два бинома.

• Ако уравненията не са записани в този ред, пренаредете уравненията така, че да имат този ред. Например, пренапишете 3x - 10 + x² Става х² + 3x - 10.
• Тъй като най -високата степен е 2 (x², този тип израз се нарича квадратен.

Стъпка 3. Оставете празно място за отговора под формата на PLDT умножение

Засега просто пишете (_ _)(_ _) където ще напишете отговора. Ще го запълним, докато работим по него

Не пишете + или - между празните термини, защото все още не знаем правилния знак

Стъпка 4. Попълнете първите условия

За прости задачи първият член на вашия триномиал е само x², условията на първа позиция са винаги х и х. Това са факторите на термина х² защото x пъти x = x².

• Нашият пример x² + 3x - 10, започващи с x², така че можем да напишем:
• (x _) (x _)
• В следващия раздел ще работим по по -сложни проблеми, включително триноми, започващи с термини като 6x² или -x². Междувременно следвайте тези примерни въпроси.

Стъпка 5. Използвайте факторинг, за да познаете последните термини

Ако се върнете и прочетете стъпките за това как да умножите PLDT, ще видите, че умножаването на Последните термини ще произведе последния член в полинома (термини, които нямат x). Така че, за да разложим, трябва да намерим две числа, които при умножение ще произведат последния член.

• В нашия пример x² + 3x - 10, последният термин е -10.
• Какви са факторите на -10? Какво число се умножава по -10?
• Има няколко възможности: -1 пъти 10, 1 пъти -10, -2 пъти 5 или 2 пъти -5. Запишете тези двойки някъде, за да ги запомните.
• Все още не променяйте отговора ни. Нашият отговор все още трябва да изглежда така: (x _) (x _).

Стъпка 6. Тествайте възможностите, които съответстват на Външния и Вътрешния продукт

Съкратихме Последните условия до няколко възможности. Използвайте пробната система, за да тествате всяка възможност, умножавайки Външните и Вътрешните термини и сравнявайки продукта с нашия триномиал. Например:

• Първоначалният ни проблем имаше термина "x" при 3x, така че резултатите от нашите тестове трябва да съвпадат с този термин.
• Тестове -1 и 10: (x -1) (x+10). Отвън + Вътре = 10x - x = 9x. Грешно.
• Тестове 1 и -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. Това е грешно. Всъщност, ако тествате -1 и 10, ще откриете, че 1 и -10 са противоположни на отговора по -горе: -9x вместо 9x.
• Тестове -2 и 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Резултатът съответства на първоначалния полином, така че ето верният отговор: (x-2) (x+5).
• В прости случаи като този, ако нямате константа пред термина x², можете да използвате бързия начин: просто добавете двата фактора и поставете "x" зад него (-2+5 → 3x). Този метод обаче не работи за по -сложни проблеми, затова е по -добре да запомните „дългия път“, описан по -горе.

Метод 2 от 3: Разлагане на по -сложни триноми

Стъпка 1. Използвайте прост факторинг, за да опростите по -сложните проблеми

Например, трябва да вземете предвид 3x² + 9x - 30. Намерете число, което може да факторизира и трите термина ("най -голям общ фактор" или GCF). В този случай GCF е 3:

• 3x² = (3) (х²)
• 9x = (3) (3x)
• -30 = (3)(-10)
• По този начин 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+3x-10). Можем да извадим фактора от новия триномиал, като използваме стъпките в горния раздел. Нашият краен отговор ще бъде (3) (x-2) (x+5).

Стъпка 2. Потърсете по -усложняващи фактори

Понякога факторингът може да включва променлива или може да се наложи да факторирате няколко пъти, за да намерите възможно най -простия израз. Ето няколко примера:

• 2x²y + 14xy + 24y = (2г)(х² + 7x + 12)
• х⁴ + 11 пъти³ - 26 пъти² = (х²)(х² +11x - 26)
• -х² + 6x - 9 = (-1)(х² - 6x + 9)
• Не забравяйте да рефакторирате новия триномиал, като използвате стъпките в Метод 1. Проверете работата си и потърсете примери за подобни проблеми в примерните въпроси в долната част на тази страница.

Стъпка 3. Решете задачи с число пред x².

Някои квадратични триноми не могат да бъдат сведени до най -лесния тип задача. Научете как да решавате проблеми като 3x² + 10x + 8, след това тренирайте сами със примерните въпроси в долната част на тази страница:

• Задайте нашия отговор да бъде: (_ _)(_ _)
• Нашите „Първи“термини ще имат по един х, а умножаването им дава 3х². Има само една възможност: (3x _) (x _).
• Избройте факторите от 8. Коефициентите са 1 по 8 или 2 по 4.
• Тествайте тази възможност, като използвате външните и вътрешните термини. Обърнете внимание, че редът на факторите е много важен, защото Външният термин се умножава по 3x вместо x. Опитайте всяка възможност, докато не получите Out+In = 10x (от първоначалния проблем):
• (3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x не
• (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x не
• (3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x не
• (3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x да. Това е правилният фактор.

Стъпка 4. Използвайте заместване за триноми от по -висок ред

Книгата ви по математика може да ви изненада с уравнения с големи степени, като х⁴, дори след като използвате прост факторинг, за да улесните проблема. Опитайте да замените нова променлива, която да я превърне в проблем, който знаете как да решите. Например:

• х⁵+13 пъти³+36x
• = (х) (х⁴+13 пъти²+36)
• Нека създадем нова променлива. Да речем y = x² и поставете в него:
• (x) (y²+13y+36)
• = (x) (y+9) (y+4). Сега го преобразувайте обратно в първоначалната променлива:
• = (х) (х²+9) (x²+4)
• = (x) (x ± 3) (x ± 2)

Метод 3 от 3: Факторинг Специални случаи

Стъпка 1. Намерете прости числа

Потърсете дали константата в първия или третия член на тринома е просто число. Просто число се дели само на себе си и на 1, така че има само една възможна двойка биномиални фактори.

• Например в x² + 6x + 5, 5 е просто число, така че биномът трябва да бъде от вида (_ 5) (_ 1).
• В проблема на 3x²+10x+8, 3 е просто число, така че биномът трябва да бъде от вида (3x _) (x _).
• За въпроси 3x²+4x+1, и 3, и 1 са прости числа, така че единственото възможно решение е (3x+1) (x+1). (Все пак трябва да умножите това число, за да проверите отговора си, защото някои изрази изобщо не могат да бъдат взети под внимание - например 3x²+100x+1 няма фактор.)

Стъпка 2. Разберете дали триномалът е перфектен квадрат

Перфектен квадратен триномиал може да се раздели на два еднакви бинома и коефициентът обикновено се записва като (x+1)² а не (x+1) (x+1). Ето някои примери, които обикновено се появяват в въпроси:

• х²+2x+1 = (x+1)², и x²-2x+1 = (x-1)²
• х²+4x+4 = (x+2)², и x²-4x+4 = (x-2)²
• х²+6x+9 = (x+3)², и x²-6x+9 = (x-3)²
• Перфектен квадратен трином във формата a x² + bx + c винаги има членове a и c, които са положителни перфектни квадрати (като 1, 4, 9, 16 или 25) и един член b (положителен или отрицателен), който е равен на 2 (√a * √c).

Стъпка 3. Разберете дали проблемът няма решение

Не всички триноми могат да бъдат взети предвид. Ако не можете да факторирате квадратен трином (ax²+bx+c), използвайте квадратната формула, за да намерите отговора. Ако единственият отговор е квадратният корен от отрицателно число, няма реално числово решение, тогава проблемът няма фактори.

За неквадратни триноми използвайте критерия на Айзенщайн, който е описан в раздела Съвети

Отговори и примерни въпроси

1. Отговори на въпроси „сложен факторинг“.

   Това са въпроси от стъпката „по -сложни фактори“. Опростихме проблемите в по -лесни, затова се опитайте да ги разрешите, като използвате стъпките в метод 1, след което проверете работата си тук:

   • (2y) (x² + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
   • (х²)(х² + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
   • (-1) (х² -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²

2. Опитайте по -сложни факторинг проблеми.

   Тези проблеми имат един и същ фактор във всеки термин, който първо трябва да се вземе предвид. Блокирайте празните места след знака за равенство, за да видите отговорите, за да можете да проверите работата си:

   • 3x³+3 пъти²-6x = (3x) (x+2) (x-1) блокирайте празното място, за да видите отговора
   • -5 пъти³y²+30x²y²-25г²x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)

3. Практикувайте да използвате въпроси. Тези проблеми не могат да бъдат включени в по -лесни уравнения, така че ще трябва да намерите отговора под формата (_x + _) (_ x + _) с помощта на опит и грешка:

   • 2x²+3x-5 = (2x+5) (x-1) блок, за да видите отговора
   • 9x²+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)² (Съвет: Може да искате да опитате повече от една двойка фактори за 9x.)

   Съвети

   • Ако не можете да разберете как да разложите квадратен трином (ax²+bx+c), можете да използвате квадратната формула, за да намерите x.

   • Въпреки че не е нужно да знаете как да направите това, можете да използвате критериите на Айзенщайн, за да определите бързо дали полиномът не може да бъде опростен и факторизиран. Този критерий се прилага за всеки полином, но най -добре се използва за триноми. Ако има просто число p, което разделя равномерно последните два члена и отговаря на следните условия, тогава полиномът не може да бъде опростен:

     • Постоянните термини (без променливи) са кратни на p, но не са кратни на p².
     • Префиксът (например a in ax)²+bx+c) не е кратно на p.
     • Например 14x² +45x +51 не може да бъде опростено, защото има просто число (3), което може да се дели както на 45, така и на 51, но не се дели на 14, а 51 не се дели на 3².

   Внимание

   Макар това да е вярно за квадратните триноми, триномиалът, който може да бъде факториран, не е непременно продукт на два бинома. Например x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).