В математиката, факторинг е начин за намиране на числа или изрази, които при умножение ще дадат дадено число или уравнение. Факторингът е полезно умение да се научите да решавате прости задачи по алгебра; способността да се факторира добре, става важна при работа с квадратни уравнения и други форми на полиноми. Факторингът може да се използва за опростяване на алгебричните изрази, за да се улеснят техните решения. Факторингът дори може да ви даде възможност да премахнете определени възможни отговори, много по -бързо, отколкото да ги решите ръчно.
Стъпка
Метод 1 от 3: Разлагане на числа и прости алгебрични изрази
Стъпка 1. Разберете дефиницията на факторинг, когато се прилага към единични числа
Факторингът е проста концепция, но на практика може да бъде предизвикателство, когато се прилага към сложни уравнения. Следователно най -лесно е да се подходи към концепцията за факторинг, като се започне с прости числа, след това се пристъпи към прости уравнения, преди накрая да се премине към по -сложни приложения. Факторите на числото са числата, които при умножение произвеждат числото. Например факторите 12 са 1, 12, 2, 6, 3 и 4, тъй като 1 × 12, 2 × 6 и 3 × 4 са равни на 12.
- Друг начин да мислите за това е, че факторите на числото са числа, които могат да се разделят равномерно на числото.
-
Можете ли да намерите всички фактори на числото 60? Използваме числото 60 за различни цели (минути в час, секунди в минута и т.н.), защото може да се дели на доста други числа.
Факторите на 60 са 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60
Стъпка 2. Разберете, че променливите изрази също могат да бъдат взети предвид
Точно както самите числа могат да бъдат факторизирани, променливите с числови коефициенти също могат да бъдат факторизирани. За да направите това, просто намерете факторите на променливите коефициенти. Знанието как да се факторизира променлива е много полезно за опростяване на алгебрични уравнения, включващи тази променлива.
-
Например променливата 12x може да бъде записана като произведение на факторите 12 и x. Можем да запишем 12x като 3 (4x), 2 (6x) и т.н., като използваме коефициентите от 12, които работят най -добре за нашите цели.
Можем дори да множим 12 пъти няколко пъти. С други думи, не е нужно да се спираме на 3 (4x) или 2 (6x) - можем да факторизираме 4x и 6x, за да произведем 3 (2 (2x) и 2 (3 (2x). Разбира се, тези два израза са еквивалентни
Стъпка 3. Приложете разпределителното свойство на умножението към факторните алгебрични уравнения
Използвайки знанията си как да се факторират както единични числа, така и променливи с коефициенти, можете да опростите прости алгебрични уравнения, като намерите факторите, които числата и променливите споделят в алгебричните уравнения. Обикновено, за да опростим уравнение, се опитваме да намерим най -големия общ фактор. Този процес на опростяване е възможен поради разпределителното свойство на умножение, което се прилага за всяко число a, b и c. a (b + c) = ab + ac.
- Нека опитаме примерен въпрос. За да разложим алгебричното уравнение 12x + 6, първо, нека се опитаме да намерим най -големия общ множител от 12x и 6. 6 е най -голямото число, което може да раздели равномерно 12x и 6, така че можем да опростим уравнението до 6 (2x + 1).
- Този процес се прилага и за уравнения с отрицателни числа и дроби. Например, x/2 + 4, може да бъде опростено до 1/2 (x + 8), а -7x + -21 може да бъде факторизирано до -7 (x + 3).
Метод 2 от 3: Разлагане на квадратни уравнения
Стъпка 1. Уверете се, че уравнението е в квадратна форма (ax2 + bx + c = 0).
Квадратните уравнения имат формата ax2 + bx + c = 0, където a, b и c са числови константи и не са равни на 0 (обърнете внимание, че a може да бъде равно на 1 или -1). Ако имате уравнение, което има една променлива (x), която има един член x в степен на две или повече, обикновено премествате тези термини в уравнението, като използвате прости алгебрични операции, за да получите 0 от двете страни на знака за равенство и брадва2и т.н. от друга страна.
- Да помислим например за алгебрично уравнение. 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 може да бъде опростено до x2 + 6x + 9 = 0, което е квадратната форма.
- Уравнения с по -голяма степен на x, като x3, х4и т.н. не са квадратни уравнения. Тези уравнения са кубични уравнения за четвъртата степен и т.н., освен ако уравнението не може да бъде опростено, за да се премахнат тези x членове с степени, по -големи от 2.
Стъпка 2. В квадратно уравнение, където a = 1, вземете предвид (x+d) (x+e), където d × e = c и d+e = b
Ако вашето квадратно уравнение е във формата x2 + bx + c = 0 (с други думи, ако коефициентът на члена x2 = 1), възможно е (но не е гарантирано), че доста лесен стенографски метод може да се използва за факторизиране на уравнението. Намерете две числа, които при умножение дават c и добавен за производство b. След като потърсите тези две числа d и e, ги поставете в следния израз: (x+d) (x+e). Тези два члена, когато се умножат, ви дават вашето квадратно уравнение - с други думи, те са факторите на вашето квадратно уравнение.
- Например, нека помислим за квадратното уравнение x2 + 5x + 6 = 0. 3 и 2 се умножават, за да дадат 6 и също се добавят, за да дадат 5, така че можем да опростим това уравнение до (x + 3) (x + 2).
-
Малката разлика в този основен стенографски метод се крие в разликите в самите прилики:
- Ако квадратното уравнение е във вид x2-bx+c, отговорът ви е в тази форма: (x - _) (x - _).
- Ако уравнението е под формата x2+ bx + c, отговорът ви изглежда така: (x + _) (x + _).
- Ако уравнението е под формата x2-bx -c, отговорът ви е във формата (x + _) (x -_).
- Забележка: числата в заготовките могат да бъдат дроби или десетични знаци. Например уравнението x2 + (21/2) x + 5 = 0 се взема предвид (x + 10) (x + 1/2).
Стъпка 3. Ако е възможно, вземете предвид проверките
Вярвате или не, за неусложнени квадратни уравнения един от разрешените методи за факторинг е да се изследва проблемът, след което да се обмислят възможните отговори, докато не намерите верния отговор. Този метод е известен също като факторинг чрез изследване. Ако уравнението е под формата ax2+bx +c и a> 1, вашият факторен отговор е във формата (dx +/- _) (ex +/- _), където d и e са константи на ненулеви числа, които при умножение дават a. Нито d, нито e (или и двете) не могат да бъдат 1, въпреки че не е задължително. Ако и двете са 1, основно използвате стенографския метод, описан по -горе.
Нека помислим за примерен проблем. 3x2 - 8x + 4 изглежда трудно в началото. Въпреки това, след като осъзнаем, че 3 има само два фактора (3 и 1), това уравнение става по-лесно, защото знаем, че отговорът ни трябва да бъде от вида (3x +/- _) (x +/- _). В този случай добавянето на -2 към двете заготовки дава правилния отговор. -2 × 3x = -6x и -2 × x = -2x. -6x и -2x добавят до -8x. -2 × -2 = 4, така че можем да видим, че условията, взети предвид в скоби, когато се умножават, произвеждат първоначалното уравнение.
Стъпка 4. Решете, като попълните квадрата
В някои случаи квадратичните уравнения могат да бъдат бързо и лесно факторизирани с помощта на специални алгебрични идентичности. Всяко квадратно уравнение под формата x2 + 2xh + h2 = (x + h)2. Така че, ако във вашето уравнение вашата b стойност е два пъти квадратен корен от вашата c стойност, вашето уравнение може да бъде взето предвид (x + (root (c)))2.
Например уравнението x2 +6x+9 има тази форма. 32 е 9 и 3 × 2 е 6. И така, знаем, че факторната форма на това уравнение е (x + 3) (x + 3) или (x + 3)2.
Стъпка 5. Използвайте фактори за решаване на квадратни уравнения
Независимо от това как сте взели предвид квадратното уравнение, след като уравнението бъде взето предвид, можете да намерите възможни отговори на стойността на x, като направите всеки фактор равен на нула и ги разрешите. Тъй като търсите стойността на x, която прави уравнението ви равно на нула, стойността на x, която прави всеки фактор равен на нула, е възможен отговор на вашето квадратно уравнение.
Да се върнем към уравнението x2 + 5x + 6 = 0. Това уравнение е взето предвид (x + 3) (x + 2) = 0. Ако някой от факторите е равен на 0, всички уравнения са равни на 0, така че нашите възможни отговори за x са числа- число, което прави (x + 3) и (x + 2) са равни 0. Тези числа са съответно -3 и -2.
Стъпка 6. Проверете отговорите си - някои от отговорите може да са подвеждащи
Когато намерите възможни отговори за x, включете ги обратно в първоначалното си уравнение, за да видите дали отговорът е правилен. Понякога отговорите, които намирате, не правят първоначалното уравнение равно на нула при повторно въвеждане. Ние наричаме този отговор девиант и го игнорираме.
-
Нека поставим -2 и -3 в x2 + 5x + 6 = 0. Първо, -2:
- (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0. Този отговор е правилен, така че -2 е верният отговор.
-
Сега нека опитаме -3:
- (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0. Този отговор също е правилен, така че -3 е верният отговор.
Метод 3 от 3: Факторинг на други уравнения
Стъпка 1. Ако уравнението е изразено под формата a2-b2, фактор в (a+b) (a-b).
Уравненията с две променливи имат различни фактори от основното квадратно уравнение. За уравнение а2-b2 всичко, където a и b не са равни на 0, факторите на уравнението са (a+b) (a-b).
Например уравнението 9х2 - 4г2 = (3x + 2y) (3x - 2y).
Стъпка 2. Ако уравнението е изразено под формата a2+2ab+b2, фактор в (a+b)2.
Обърнете внимание, че ако триномалът е от формата a2-2ab+b2, форм-факторите са малко по-различни: (a-b)2.
4х. Уравнение2 + 8xy + 4y2 може да се пренапише като 4x2 + (2 × 2 × 2) xy + 4y2. Сега можем да видим, че формата е правилна, така че можем да сме сигурни, че факторите на нашето уравнение са (2x + 2y)2
Стъпка 3. Ако уравнението е изразено под формата a3-b3, фактор в (a-b) (a2+ab+b2).
И накрая, вече беше споменато, че кубичните уравнения и дори по -високите степени могат да бъдат взети предвид, въпреки че процесът на факторинг бързо става много сложен.
Например 8x3 - 27г3 взети предвид (2x - 3y) (4x2 + ((2x) (3y)) + 9y2)
Съвети
- а2-b2 може да се вземе предвид, а2+б2 не може да бъде взето предвид.
- Спомнете си как да разложите константа. Това може да помогне.
- Внимавайте с дробите в процеса на факторинг и работете с дроби правилно и внимателно.
- Ако имате триномиал от формата x2+ bx+ (b/2)2, форм -факторът е (x+(b/2))2. (Може да срещнете тази ситуация, когато попълвате квадрата.)
- Не забравяйте, че a0 = 0 (свойството на произведението на нула).
