Полиномът съдържа променлива (x) със степен, известна като степен, и няколко термина и/или константи. Да се факторизира полином означава да се раздели уравнението на по -прости уравнения, които могат да бъдат умножени. Това умение е в Алгебра 1 и по -нагоре и може да бъде трудно за разбиране, ако математическите ви умения не са на това ниво.
Стъпка
Старт
Стъпка 1. Настройте уравнението си
Стандартният формат за квадратно уравнение е:
брадва2 + bx + c = 0
Започнете, като подредите условията във вашето уравнение от най -високата до най -ниската мощност, точно както в този стандартен формат. Например:
6 + 6x2 + 13x = 0
Ще пренаредим това уравнение, така че да е по -лесно да работите, като просто преместите условията:
6x2 + 13x + 6 = 0
Стъпка 2. Намерете форм -фактора, като използвате един от следните методи
Факторирането на полинома води до две по -прости уравнения, които могат да бъдат умножени, за да се получи първоначалният полином:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
В този пример (2x + 3) и (3x + 2) са факторите на първоначалното уравнение, 6x2 +13x+6.
Стъпка 3. Проверете работата си
Умножете факторите, които имате. След това комбинирайте подобни термини и сте готови. Започни с:
(2x + 3) (3x + 2)
Нека се опитаме да умножим термините, използвайки PLDT (първо - отвън - отвътре - последно), в резултат на което:
6x2 + 4x + 9x + 6
От тук можем да добавим 4x и 9x, защото те са като термини. Знаем, че нашите фактори са правилни, защото получаваме първоначалното си уравнение:
6x2 + 13x + 6
Метод 1 от 6: Проба и грешка
Ако имате сравнително прост полином, може да успеете да откриете факторите сами, като ги разгледате. Например, след практика много математици могат да разберат, че уравнението 4х2 + 4x + 1 има коефициент (2x + 1) и (2x + 1) само като го гледате често. (Това, разбира се, няма да е лесно за по -сложни полиноми). За този пример нека използваме по -рядко използвано уравнение:
3x2 + 2x - 8
Стъпка 1. Напишете списък на факторите на термин а и термин с
Използвайки формата на уравнението на брадва2 + bx + c = 0, идентифицирайте термините a и c и запишете факторите, които имат и двата термина. За 3x2 + 2x - 8, което означава:
a = 3 и има набор от фактори: 1 * 3
c = -8 и има четири набора фактори: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 и -1 * 8.
Стъпка 2. Запишете два комплекта скоби с празни интервали
Ще попълните празнините, които сте създали с константи за всяко уравнение:
(x) (x)
Стъпка 3. Попълнете празните места пред x с възможните двойки фактори за стойността на a
За термина a в нашия пример 3x2, има само една възможност за нашия пример:
(3x) (1x)
Стъпка 4. Попълнете двете празнини след x с двойки фактори за константата
Да предположим, че избираме 8 и 1. Напишете в тях:
(3 пъти
Стъпка 8.)(
Етап 1
Стъпка 5. Определете знака (плюс или минус) между променливата x и числото
В зависимост от знаците в първоначалното уравнение може да е възможно да се търсят знаци за константи. Да предположим, че наричаме двете константи h и k за двата си фактора:
Ако брадва2 + bx + c тогава (x + h) (x + k)
Ако брадва2 - bx - c или ax2 + bx - c тогава (x - h) (x + k)
Ако брадва2 - bx + c тогава (x - h) (x - k)
За нашия пример 3x2 + 2x - 8, знаците са: (x - h) (x + k), което ни дава два фактора:
(3x + 8) и (x - 1)
Стъпка 6. Тествайте избора си, като използвате умножение от първи до последен (PLDT)
Първият бърз тест е да се види дали средният термин има поне правилната стойност. Ако не, може да сте избрали грешни c фактори. Нека тестваме нашия отговор:
(3x + 8) (x - 1)
Чрез умножение получаваме:
3x2 - 3x + 8x - 8
Опростявайки това уравнение чрез добавяне на подобни термини (-3x) и (8x), получаваме:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Сега знаем, че трябва да сме използвали грешни фактори:
3x2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
Стъпка 7. Променете избора си, ако е необходимо
В нашия пример нека опитаме 2 и 4 вместо 1 и 8:
(3x + 2) (x - 4)
Сега нашият c член е -8, но нашият външен/вътрешен продукт (3x * -4) и (2 * x) е -12x и 2x, които комбинирано няма да дадат правилния b +2x член.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Стъпка 8. Обърнете реда, ако е необходимо
Нека опитаме да разменим 2 и 4:
(3x + 4) (x - 2)
Сега нашият c член (4 * 2 = 8) е правилен, но външният/вътрешният продукт е -6x и 4x. Ако ги комбинираме:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Ние сме доста близо до 2x, които търсим, но знакът е грешен.
Стъпка 9. Проверете два пъти етикетите си, ако е необходимо
Ще използваме същия ред, но ще разменим уравненията със знак минус:
(3x - 4) (x + 2)
Сега терминът c не е проблем и текущият външен/вътрешен продукт е (6x) и (-4x). Защото:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Сега можем да използваме положителни 2x от първоначалния проблем. Това трябва да са правилните фактори.
Метод 2 от 6: Разлагане
Този метод ще идентифицира всички възможни фактори на термините a и c и ще ги използва за намиране на правилните фактори. Ако числата са твърде големи или предполагането отнема много време, използвайте този метод. Нека използваме пример:
6x2 + 13x + 6
Стъпка 1. Умножете a по термин c
В този пример a е 6 и c също е 6.
6 * 6 = 36
Стъпка 2. Вземете термина b чрез факторинг и тестване
Търсим две числа, които са фактори на произведението a * c, което идентифицирахме и също добавяме към термина b (13).
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Стъпка 3. Заменете двете числа, които получавате в уравнението си в резултат на добавяне на член b
Нека използваме k и h, за да представим двете числа, които имаме, 4 и 9:
брадва2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Стъпка 4. Факторизирайте полинома чрез групиране
Подредете уравненията така, че да можете да вземете най -големия общ коефициент както на първия, така и на втория член. Групата фактори трябва да бъде една и съща. Добавете най -големия общ фактор и го поставете в скоби до групата на факторите; резултатът са вашите два фактора:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
Метод 3 от 6: Тройна игра
Подобно на метода на разлагане, методът за тройно възпроизвеждане изследва възможните фактори за умножаване на термините a и c и използване на стойността на b. Опитайте да използвате това примерно уравнение:
8x2 + 10x + 2
Стъпка 1. Умножете a по термин c
Подобно на метода за синтактичен анализ, това ще ни помогне да идентифицираме кандидатите за член b. В този пример a е 8, а c е 2.
8 * 2 = 16
Стъпка 2. Намерете две числа, които, умножени по числа, произвеждат това число с обща сума, равна на члена b
Тази стъпка е същата като разбора - тестваме и отхвърляме кандидатите за константата. Произведението на условията a и c е 16, а членът c е 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Стъпка 3. Вземете тези две числа и ги тествайте, като ги включите във формулата за тройно възпроизвеждане
Вземете нашите две числа от предишната стъпка - нека ги наречем h и k - и ги включете в уравнението:
((ax + h) (ax + k))/ a
Ще получим:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Стъпка 4. Забележете дали някой от двата члена в числителя се дели на a
В този пример видяхме дали (8x + 8) или (8x + 2) се дели на 8. (8x + 8) се дели на 8, така че ще разделим този член на a и оставяме останалите фактори на мира.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
Терминът в скоби тук е това, което остава, след като разделим на термина а.
Стъпка 5. Вземете най -големия общ фактор (GCF) от един или и двата термина, ако има такъв
В този пример вторият член има GCF 2, защото 8x + 2 = 2 (4x + 1). Комбинирайте този резултат с термина, който сте получили от предишната стъпка. Това са факторите във вашето уравнение.
2 (x + 1) (4x + 1)
Метод 4 от 6: Разлика на квадратните корени
Някои коефициенти в полиномите могат да бъдат „квадрати“или произведение на две числа. Идентифицирането на тези квадрати ви позволява по -бързо да факторирате множество полиноми. Опитайте това уравнение:
27x2 - 12 = 0
Стъпка 1. Извадете най -големия общ фактор, ако е възможно
В този случай можем да видим, че 27 и 12 са делими на 3, така че получаваме:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
Стъпка 2. Определете дали коефициентите на вашето уравнение са квадратни числа
За да използвате този метод, трябва да можете да вземете квадратния корен от двата термина. (Имайте предвид, че ще игнорираме отрицателния знак - тъй като тези числа са квадрати, те могат да бъдат произведение на две положителни или отрицателни числа)
9x2 = 3x * 3x и 4 = 2 * 2
Стъпка 3. Използвайки квадратния корен, който имате, запишете факторите
Ще вземем стойностите на a и c от стъпката ни по -горе - a = 9 и c = 4, след това ще намерим квадратния корен - a = 3 и c = 2. Резултатът е коефициентът на факторното уравнение:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Метод 5 от 6: Квадратична формула
Ако всичко друго се провали и уравнението не може да бъде разчетено цяло, използвайте квадратната формула. Опитайте този пример:
х2 + 4x + 1 = 0
Стъпка 1. Въведете необходимите стойности в квадратната формула:
x = -b ± (b2 - 4ac)
2а
Получаваме уравнението:
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
Стъпка 2. Намерете стойността на x
Ще получите две стойности. Както е показано по -горе, получаваме два отговора:
x = -2 + (3) или x = -2 -(3)
Стъпка 3. Използвайте стойността си x, за да намерите факторите
Включете стойностите x, които имате, в двете полиномиални уравнения като константи. Резултатът са вашите фактори. Ако наречем отговорите си h и k, записваме двата фактора, както следва:
(x - h) (x - k)
В този пример нашият краен отговор е:
(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))
Метод 6 от 6: Използване на калкулатора
Ако имате право да използвате калкулатор, графичният калкулатор прави процеса на факторинг много по -лесен, особено за стандартизирани тестове. Тези инструкции са за графичния калкулатор TI. Ще използваме примерно уравнение:
y = x2 x 2
Стъпка 1. Въведете уравнението си в калкулатора
Ще използвате факторинг на уравнението, което е записано [Y =] на екрана.
Стъпка 2. Начертайте уравнението си с помощта на вашия калкулатор
Когато въведете уравнението си, натиснете [GRAPH] - ще видите гладка крива, която представлява вашето уравнение (а формата е крива, защото използваме полиноми).
Стъпка 3. Намерете мястото, където кривата се пресича с оста x
Тъй като полиномиалните уравнения обикновено се пишат като ax2 + bx + c = 0, това пресичане е втората стойност на x, която прави уравнението нула:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Ако не можете да определите къде графиката се пресича с оста x, като я погледнете, натиснете [2-ра] и след това [TRACE]. Натиснете [2] или изберете нула. Преместете курсора вляво от пресечната точка и натиснете [ENTER]. Преместете курсора вдясно от пресечната точка и натиснете [ENTER]. Преместете курсора възможно най -близо до пресечната точка и натиснете [ENTER]. Калкулаторът ще намери стойността на x. Направете това и за другите кръстовища
Стъпка 4. Включете стойността x, получена от предишната стъпка, в двуфакторното уравнение
Ако назовем двете ни стойности x h и k, уравненията, които бихме използвали, биха били:
(x - h) (x - k) = 0
Следователно двата ни фактора са:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Съвети
- Ако имате калкулатор TI-84 (графика), има програма, наречена SOLVER, която ще реши вашите квадратни уравнения. Тази програма ще решава полиноми от всяка степен.
- Ако терминът не е записан, коефициентът е 0. Полезно е да се пренапише уравнението, ако случаят е такъв, например: x2 + 6 = х2 +0x+6.
- Ако сте взели предвид вашия полином с помощта на квадратна формула и сте получили отговора по отношение на корените, може да искате да преобразувате стойността на x в дроб, за да проверите.
- Ако терминът няма записан коефициент, коефициентът е 1, например: x2 = 1x2.
- След достатъчно практика, в крайна сметка ще можете да факторирате полиноми в главата си. Докато не успеете, не забравяйте винаги да записвате инструкциите.
