3 начина за решаване на кубични уравнения

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-16 19:11

Когато за първи път намерите кубичното уравнение (което е от формата ax ³ + bx ² + cx + d = 0), може би смятате, че проблемът ще бъде труден за решаване. Но знайте, че решаването на кубични уравнения всъщност съществува от векове! Това решение, открито от италианските математици Николо Тарталия и Джероламо Кардано през 1500 -те години, е една от първите формули, известни в древна Гърция и Рим. Решаването на кубични уравнения може да е малко трудно, но с правилния подход (и достатъчно познания) дори най -трудните кубични уравнения могат да бъдат решени.

Стъпка

Метод 1 от 3: Решаване с помощта на квадратни уравнения

Стъпка 1. Проверете дали вашето кубично уравнение има константа

Както бе посочено по -горе, формата на кубичното уравнение е ax ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c и стойността на d може да бъде 0, без това да повлияе на формата на това кубично уравнение; това основно означава, че кубичното уравнение не винаги трябва да включва стойността на bx ², cx, или d е кубично уравнение. За да започнете да използвате този доста лесен начин за решаване на кубични уравнения, проверете дали вашето кубично уравнение има константа (или стойност на d). Ако вашето уравнение няма константа или стойност за d, тогава можете да използвате квадратно уравнение, за да намерите отговора на кубичното уравнение след няколко стъпки.

От друга страна, ако уравнението ви има постоянна стойност, тогава ще ви е необходимо друго решение. Вижте стъпките по -долу за други подходи

Стъпка 2. Факторизирайте стойността x от кубичното уравнение

Тъй като вашето уравнение няма постоянна стойност, всички компоненти в него имат променливата x. Това означава, че тази стойност на x може да бъде взета предвид от уравнението, за да се опрости. Направете тази стъпка и препишете вашето кубично уравнение под формата x (ax ² + bx + c).

Например, да кажем, че първоначалното кубично уравнение тук е 3 x ³ + -2 х ² + 14 x = 0. Чрез факториране на една променлива x от това уравнение получаваме уравнението x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

Стъпка 3. Използвайте квадратни уравнения, за да решите уравненията в скоби

Може да забележите, че някои от новите ви уравнения, затворени в скоби, са под формата на квадратно уравнение (ax ² + bx + c). Това означава, че можем да намерим необходимата стойност, за да направим това уравнение равно на нула, като включим a, b и c във формулата на квадратното уравнение ({- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a). Извършете тези изчисления, за да намерите два отговора на вашето кубично уравнение.

• В нашия пример включете стойностите на a, b и c (съответно 3, -2 и 14) в квадратното уравнение, както следва:

  {- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Отговор 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12,8 i}/6

• Отговор 2:

  {2 - 12.8 i}/6

Стъпка 4. Използвайте нули и отговора си на квадратното уравнение като отговор на вашето кубично уравнение

Квадратните уравнения ще имат два отговора, докато кубичните уравнения имат три отговора. Вече знаете два отговора от три; които получавате от "квадратната" част от уравнението в скоби. Ако вашето кубично уравнение може да бъде решено чрез "факторизация" по този начин, третият ви отговор е почти винаги 0. Безопасно! Току -що сте решили кубично уравнение.

Причината, поради която този метод работи, е фундаменталният факт, че "всяко число, умножено по нула, е равно на нула". Когато умножите уравнението си във формата x (ax ² + bx + c) = 0, по принцип просто го разделяте на две "части"; едната част е променливата x от лявата страна, а другата част е квадратното уравнение в скоби. Ако една от тези две части е нула, тогава цялото уравнение също ще бъде нула. По този начин двата отговора на квадратното уравнение в скоби, които биха го направили нула, са отговорите на кубичното уравнение, както и самото 0 - което би направило частта от лявата страна също нула.

Метод 2 от 3: Намиране на цели числа с помощта на списък с фактори

Стъпка 1. Уверете се, че вашето кубично уравнение има постоянна стойност

Докато описаните по -горе методи са сравнително лесни за използване, тъй като не е нужно да научавате нова техника за изчисление, за да ги използвате, те не винаги ще ви помогнат да решите кубични уравнения. Ако вашето кубично уравнение е от формата ax ³ + bx ² + cx + d = 0, където стойността на d не е равна на нула, горният метод „факторизация“не работи, така че ще трябва да използвате един от методите в този раздел, за да разрешите това.

Например, да кажем, че имаме уравнението 2 x ³ + 9 х ² + 13 x = -6. В този случай, за да получим нула от дясната страна на уравнението, трябва да добавим 6 към двете страни. След това ще получим ново уравнение 2 x ³ + 9 х ² + 13 x + 6 = 0, със стойност d = 6, така че не можем да използваме метода „факторизация“, както в предишния метод.

Стъпка 2. Намерете факторите на a и d

За да решите вашето кубично уравнение, започнете с намирането на коефициента на a (коефициента на x ³) и d (постоянната стойност в края на уравнението). Не забравяйте, че факторите са числа, които могат да бъдат умножени помежду си, за да се получи определено число. Например, тъй като можете да получите 6, като умножите 6 × 1 и 2 × 3, 1, 2, 3 и 6 са фактори от 6.

• В примерния проблем, който използваме, a = 2 и d = 6. Факторът 2 е 1 и 2. Докато коефициентът 6 е 1, 2, 3 и 6.

  

  Стъпка 3. Разделете фактора a на фактора d

  След това избройте стойностите, които получавате, като разделите всеки фактор на a на всеки фактор на d. Това изчисление обикновено води до много дробни стойности и няколко цели числа. Целочислената стойност за решаване на вашето кубично уравнение е едно от целите числа, получени от изчислението.

  В нашето уравнение разделете факторната стойност на a (1, 2) на фактора d (1, 2, 3, 6) и ще получите следните резултати: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, и 2/3. След това добавете отрицателни стойности към списъка и получаваме: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 и -2/3. Отговорът на кубичното уравнение - което е цяло число, е в списъка.

  

  Стъпка 4. Използвайте синтетично разделение, за да проверите ръчно отговорите си

  След като имате списък със стойности като този по -горе, можете да потърсите целочислените стойности, които са отговорите на вашето кубично уравнение, като въведете всяко цяло число ръчно и да намерите коя стойност връща нула. Ако обаче не искате да отделяте време за това, има начин да го направите по -бързо, а именно с изчисление, наречено синтетично деление. По принцип бихте разделили целочислената си стойност на първоначалните коефициенти на a, b, c и d във вашето кубично уравнение. Ако остатъкът е нула, тогава тази стойност е един от отговорите на вашето кубично уравнение.

  • Синтетичното разделение е сложна тема - вижте връзката по -долу за повече информация. Ето пример за това как да намерите един от отговорите на вашето кубично уравнение със синтетично деление:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    Тъй като получаваме крайния резултат равен на 0, знаем, че един от целочислените отговори на нашето кубично уравнение е - 1.

  Метод 3 от 3: Използване на дискриминационен подход

  

  Стъпка 1. Запишете уравненията a, b, c и d

  За да намерим отговора на кубичното уравнение по този начин, ще направим много изчисления с коефициентите в нашето уравнение. Поради това е добра идея да запишете стойностите на a, b, c и d, преди да забравите някоя от стойностите.

  Например, за уравнението x ³ - 3 пъти ² + 3 x -1, запишете го като a = 1, b = -3, c = 3 и d = -1. Не забравяйте, че когато променливата x няма коефициент, нейната стойност е 1.

  

  Стъпка 2. Изчислете 0 = b ² - 3 климатика.

  Дискриминантният подход за намиране на отговори на кубични уравнения изисква сложни изчисления, но ако следвате стъпките внимателно, той може да бъде много полезен за решаване на кубични уравнения, които са трудни за решаване по други начини. Като начало, намерете стойността на 0, която е първата значима стойност от няколкото, от които се нуждаем, включвайки съответната стойност във формулата b ² - 3 климатика.

  • В примера, който използваме, ще го решим, както следва:

    б ² - 3 ак

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  Стъпка 3. Изчислете 1 = 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² д.

  Следващата значима стойност, от която се нуждаем, 1, изисква по -дълго изчисление, но може да се намери по същия начин като 0. Включете подходящата стойност във формулата 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d, за да получите стойността на 1.

  • В този пример го решаваме, както следва:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  Стъпка 4. Изчислете = 1² - 4Δ0³) -27 а ².

  След това изчисляваме "дискриминантната" стойност на стойностите 0 и 1. Дискриминантът е число, което ви дава информация за корена на полинома (може би несъзнателно сте запомнили квадратната дискриминантна формула: b ² - 4 климатика). В случай на кубично уравнение, ако стойността на дискриминанта е положителна, тогава уравнението има три отговора на реално число. Ако дискриминантната стойност е равна на нула, тогава уравнението има един или два отговора на реално число, а някои от отговорите имат същата стойност. Ако стойността е отрицателна, тогава уравнението има само един реален брой отговор, защото графиката на уравнението винаги ще пресича оста x поне веднъж.)

  • В този пример, тъй като и 0, и 1 = 0, намирането на стойността на е много лесно. Просто трябва да го изчислим по следния начин:

    1² - 4Δ0³) -27 а ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, така че нашето уравнение има 1 или 2 отговора.

  

  Стъпка 5. Изчислете C = ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2).

  Последната стойност, която е важно да получим, е стойността на C. Тази стойност ни позволява да получим и трите корена на нашето кубично уравнение. Решете както обикновено, като включите стойностите 1 и 0 във формулата.

  • В този пример ще получим стойността на C чрез:

    ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = C

  

  Стъпка 6. Изчислете трите корена на уравнението с вашата променлива

  Коренът (отговорът) на вашето кубично уравнение се определя от формулата (b + u C + (Δ0/u В)) / 3 а, където u = (-1 + (-3))/2 и n е равно на 1, 2 или 3. Включете стойностите си във формулата, за да ги разрешите-може да има доста изчисления, които трябва да направите, но трябва да получите и трите си кубични уравнения!

  • В този пример бихме могли да го решим, като проверим отговорите, когато n е равно на 1, 2 и 3. Отговорът, който получаваме от това изчисление, е възможният отговор на нашето кубично уравнение - всяка стойност, която включим в кубичното уравнение и тя дава същия резултат.с 0 е верният отговор. Например, ако получим отговор, равен на 1, ако в един от нашите изчислителни експерименти включим стойността 1 в уравнението x ³ - 3 пъти ² + 3 x - 1 дава крайния резултат, равен на 0. Така

    Етап 1. е един от отговорите на нашето кубично уравнение.