Квадратно уравнение е уравнение, чиято най -висока степен е 2 (на квадрат). Има три основни начина за решаване на квадратно уравнение: факториране на квадратното уравнение, ако можете, с помощта на квадратна формула или попълване на квадрата. Ако искате да овладеете тези три метода, следвайте тези стъпки.
Стъпка
Метод 1 от 3: Факторинг уравнения
Стъпка 1. Комбинирайте всички равни променливи и ги преместете от едната страна на уравнението
Първата стъпка към факторинг на уравнение е да преместите всички равни променливи в едната страна на уравнението, с x2е положителен. За да комбинирате променливи, добавете или извадете всички променливи x2, x и константи (цели числа), ги преместете от другата страна на уравнението, така че нищо да не остане от другата страна. Когато другата страна няма останали променливи, напишете 0 до знака за равенство. Ето как да го направите:
- 2x2 - 8x - 4 = 3x - x2
- 2x2 +x2 - 8x -3x - 4 = 0
- 3x2 - 11x - 4 = 0
Стъпка 2. Разложете това уравнение на фактори
За да факторизирате това уравнение, трябва да използвате фактора x2 (3) и постоянен коефициент (-4), като ги умножим и добавим, за да пасне на променливата в средата, (-11). Ето как да го направите:
- 3x2 има само един възможен фактор, който е 3x и x, можете да ги напишете в скоби: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
- След това използвайте процеса на елиминиране, за да вземете коефициент 4, за да намерите продукта, който дава -11x. Можете да използвате произведението на 4 и 1, или 2 и 2, защото когато умножите и двете, получавате 4. Но не забравяйте, че едно от числата трябва да е отрицателно, защото резултатът е -4.
- Опитайте (3x + 1) (x - 4). Когато го умножите, резултатът е - 3x2 -12x +x -4. Ако комбинирате променливите -12 x и x, резултатът е -11x, което е вашата средна стойност. Току -що сте взели предвид квадратно уравнение.
- Например, нека да опитаме факторинг на другия продукт: (3x -2) (x +2) = 3x2 +6x -2x -4. Ако комбинирате променливите, резултатът е 3x2 -4x -4. Въпреки че факторите -2 и 2 при умножаване дават -4, средната стойност не е същата, защото искате да получите стойност -11x вместо -4x.
Стъпка 3. Да приемем, че всяка скоба е нула в различно уравнение
Това ще ви позволи да намерите 2 x стойности, които ще направят уравнението ви нула. Вие сте взели предвид вашето уравнение, така че всичко, което трябва да направите, е да приемете, че изчислението във всяка скоба е равно на нула. По този начин можете да напишете 3x + 1 = 0 и x - 4 = 0.
Стъпка 4. Решете всяко уравнение поотделно
В квадратно уравнение има 2 стойности за x. Решете всяко уравнение поотделно, като преместите променливите и запишете 2 отговора за x, по следния начин:
-
Решете 3x + 1 = 0
- 3x = -1….. чрез изваждане
- 3x/3 = -1/3….. чрез разделяне
- x = -1/3….. чрез опростяване
-
Решете x - 4 = 0
x = 4….. чрез изваждане
- x = (-1/3, 4)….. като отделим няколко възможни отговора, което означава, че x = -1/3 или x = 4 и двата може да са верни.
Стъпка 5. Проверете x = -1/3 in (3x + 1) (x -4) = 0:
Така получаваме (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)? =? 0….. чрез заместване (-1 + 1) (-4 1/3)? =? 0….. чрез опростяване (0) (-4 1/3) = 0….. чрез умножаване Така, 0 = 0….. Да, x = -1/3 е вярно.
Стъпка 6. Проверете x = 4 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
Така получаваме (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. като замените (13) (4 - 4)? =? 0….. чрез опростяване (13) (0) = 0….. чрез умножаване Така, 0 = 0….. Да, x = 4 също е вярно.
Така че, след като проверите отделно, и двата отговора са верни и могат да бъдат използвани в уравнения
Метод 2 от 3: Използване на квадратната формула
Стъпка 1. Комбинирайте всички равни променливи и ги преместете от едната страна на уравнението
Преместете всички променливи в едната страна на уравнението, със стойността на променливата x2 положителен. Запишете променливите с последователни показатели, така че x2 написани първо, последвани от променливи и константи. Ето как да го направите:
- 4x2 - 5x - 13 = x2 -5
- 4x2 - х2 - 5x - 13 +5 = 0
- 3x2 - 5x - 8 = 0
Стъпка 2. Запишете квадратната формула
Квадратната формула е: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}
Стъпка 3. Определете стойностите на a, b и c от квадратното уравнение
Променлива a е коефициентът x2, b е коефициентът на променливата x, а c е константа. За уравнението 3x2 -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 и c = -8. Запишете и трите.
Стъпка 4. Заменете стойностите на a, b и c в уравнението
След като знаете трите променливи стойности, включете ги в уравнение по следния начин:
- {-b +/- √ (b2 - 4ac)}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
Стъпка 5. Извършете изчисления
След като въведете числата, направете някаква математика, за да опростите положителния или отрицателния знак, да умножите или квадрат на останалите променливи. Ето как да го направите:
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Стъпка 6. Опростете квадратния корен
Ако числото под квадратния корен е перфектен квадрат, получавате цяло число. Ако числото не е перфектен квадрат, опростете до най -простата му коренна форма. Ако числото е отрицателно и смятате, че трябва да е отрицателно, коренната стойност ще бъде сложна. В този пример (121) = 11. Можете да напишете x = (5 +/- 11)/6.
Стъпка 7. Потърсете положителните и отрицателните отговори
След като премахнете знака с квадратния корен, можете да проправите път нагоре, за да намерите положителен и отрицателен резултат за x. Сега, когато имате (5 +/- 11)/6, можете да напишете 2 отговора:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Стъпка 8. Попълнете положителните и отрицателните отговори
Извършете математически изчисления:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Стъпка 9. Опростете
За да опростите всеки отговор, разделете го на най -голямото число, което може да раздели и двете числа. Разделете първата дроб на 2 и разделете втората на 6 и сте намерили стойността на x.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
Метод 3 от 3: Попълнете квадрата
Стъпка 1. Преместете всички променливи в едната страна на уравнението
Уверете се, че a или променлива x2 положителен. Ето как да го направите:
- 2x2 - 9 = 12x =
-
2x2 - 12x - 9 = 0
В това уравнение променлива a е 2, променлива b е -12, а променлива c е -9
Стъпка 2. Преместете променливата или константата c от другата страна
Константите са числови термини без променливи. Преместете се от дясната страна на уравнението:
- 2x2 - 12x - 9 = 0
- 2x2 - 12x = 9
Стъпка 3. Разделете двете страни на коефициента a или променливата x2.
Ако x2 няма променлива и коефициентът е 1, можете да пропуснете тази стъпка. В този случай трябва да разделите всички променливи на 2, по следния начин:
- 2x2/2 - 12x/2 = 9/2 =
- х2 - 6x = 9/2
Стъпка 4. Разделете b на 2, квадратирайте го и добавете резултата към двете страни
Стойността на b в този пример е -6. Ето как да го направите:
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- х2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
Стъпка 5. Опростете двете страни
Факторизирайте променливата от лявата страна, за да получите (x-3) (x-3) или (x-3)2. Добавете стойностите вдясно, за да получите 9/2 + 9 или 9/2 + 18/2, което е 27/2.
Стъпка 6. Намерете квадратния корен за двете страни
Квадратен корен от (x-3)2 е (x-3). Можете да напишете квадратния корен от 27/2 като ± √ (27/2). По този начин x - 3 = ± √ (27/2).
Стъпка 7. Опростете корените и намерете стойността на x
За да опростите ± √ (27/2), намерете перфектния квадрат между числата 27 и 2 или факторизирайте това число. Перфектният квадрат от 9 може да бъде намерен в 27, защото 9 x 3 = 27. За да извадите 9 от квадратния корен, извадете 9 от корена и напишете 3, квадратния корен, извън квадратния корен. Оставете остатък 3 в числителя на дробата под квадратния корен, тъй като 27 не работи с всички фактори и запишете 2 по -долу. След това преместете константата 3 от лявата страна на уравнението вдясно и напишете двете си решения за x:
- x = 3 +(√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
Съвети
- Както можете да видите, кореновите белези няма да изчезнат напълно. По този начин променливите числители не могат да се комбинират (защото те не са равни). Няма смисъл да го разделяме на положителни или отрицателни. Можем обаче да го разделим на същия фактор, но САМО ако факторите са еднакви и за двете константи И коренен коефициент.
- Ако числото под квадратния корен не е перфектен квадрат, тогава последните няколко стъпки са малко по -различни. Ето един пример:
- Ако b е четно число, формулата става: {-(b/2) +/- (b/2) -ac}/a.
