В „система от уравнения“се изисква да решите две или повече уравнения едновременно. Когато двете уравнения имат две различни променливи, например x и y, решението може да изглежда трудно в началото. За щастие, след като разберете какво трябва да направите, можете просто да използвате алгебричните си умения (и науката за изчисляване на дроби), за да разрешите проблема. Научете също как да нарисувате тези две уравнения, ако сте визуално обучаващ се или се изисква от учителя. Чертежите ще ви помогнат да идентифицирате темата или да проверите резултатите от работата си. Този метод обаче е по -бавен от другите методи и не може да се използва за всички системи от уравнения.
Стъпка
Метод 1 от 3: Използване на метода на заместване
Стъпка 1. Преместете променливите в противоположната страна на уравнението
Методът на заместване започва с „намиране на стойността на x“(или всяка друга променлива) в едно от уравненията. Например, да речем, че уравнението на проблема е 4x + 2y = 8 и 5x + 3y = 9. Започнете с работа по първото уравнение. Пренаредете уравнението, като извадите 2y от двете страни. Така получавате 4x = 8 - 2y.
Този метод често използва дроби в края. Ако не ви харесва броенето на дроби, опитайте метода за елиминиране по -долу
Стъпка 2. Разделете двете страни на уравнението, за да "намерите стойността на x"
След като терминът x (или каквато и да е променлива, която използвате) е сам от едната страна на уравнението, разделете двете страни на уравнението с коефициентите, така че да остане само променливата. Като пример:
- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - y
Стъпка 3. Включете стойността x от първото уравнение във второто уравнение
Включете го във второто уравнение, вместо в това, върху което току -що сте работили. Заместете (заменете) променливата x във второто уравнение. По този начин второто уравнение сега има само една променлива. Като пример:
- Известно е x = 2 - y.
- Второто ви уравнение е 5x + 3y = 9.
- След като разменим променливата x във второто уравнение със стойността x от първото уравнение, получаваме „2 - y“: 5 (2 - y) + 3y = 9.
Стъпка 4. Решете останалите променливи
Сега вашето уравнение има само една променлива. Изчислете уравнението с обикновени алгебрични операции, за да намерите стойността на променливата. Ако двете променливи се отменят, преминете направо към последната стъпка. В противен случай ще получите стойност за една от променливите:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Ако не разбирате тази стъпка, научете как да добавяте дроби.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Стъпка 5. Използвайте получения отговор, за да намерите истинската стойност на x в първото уравнение
Не спирайте още, защото изчисленията ви все още не са приключили. Трябва да включите получения отговор в първото уравнение, за да намерите стойността на останалите променливи:
- Известно е y = -2
- Едно от уравненията в първото уравнение е 4x + 2y = 8. (Можете да използвате и двете.)
- Заменете променливата y с -2: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Стъпка 6. Знайте какво да направите, ако двете променливи се отменят взаимно
Когато влезете x = 3y+2 или подобен отговор на второто уравнение, което означава, че се опитвате да получите уравнение, което има само една променлива. Понякога просто получавате уравнението без променлива. Проверете отново работата си и се уверете, че сте поставили (пренаредено) уравнение едно в уравнение две, вместо да се връщате към първото уравнение. Когато сте сигурни, че не сте направили нищо лошо, напишете един от следните резултати:
- Ако уравнението няма променливи и не е вярно (например 3 = 5), този проблем нямат отговор. (Когато това е начертано, тези две уравнения са успоредни и никога не се срещат.)
- Ако уравнението няма променливи и Правилно, (напр. 3 = 3), което означава, че въпросът има неограничени отговори. Уравнение едно е абсолютно същото като уравнение второ. (Когато са начертани, тези две уравнения са една и съща линия.)
Метод 2 от 3: Използване на метода за елиминиране
Стъпка 1. Намерете взаимно изключващите се променливи
Понякога уравнението в задачата вече е взаимно се анулират когато се добави. Например, ако направите уравнението 3x + 2y = 11 и 5x - 2y = 13, термините "+2y" и "-2y" ще се отменят взаимно и ще премахнат променливата "y" от уравнението. Погледнете уравнението в задачата и вижте дали има променливи, които се отменят взаимно, както в примера. Ако не, преминете към следващата стъпка.
Стъпка 2. Умножете уравнението по едно, така че една променлива да бъде премахната
(Пропуснете тази стъпка, ако променливите вече се отменят.) Ако уравнението няма променливи, които се отменят сами, променете едно от уравненията, така че да могат да се анулират взаимно. Разгледайте следните примери, за да ги разберете лесно:
- Уравненията в задачата са 3x - y = 3 и - x + 2y = 4.
- Нека променим първото уравнение, така че променливата y анулират взаимно. (Можете да използвате променливата х. Полученият окончателен отговор ще бъде същият.)
- Променлива - у в първото уравнение трябва да се елиминира чрез + 2г във второто уравнение. Как, умножете - у с 2.
- Умножете двете страни на уравнението с 2, както следва: 2 (3x - y) = 2 (3), така 6x - 2y = 6. Сега, племе - 2г ще се анулират взаимно с +2г във второто уравнение.
Стъпка 3. Комбинирайте двете уравнения
Номерът е да добавите дясната страна на първото уравнение към дясната страна на второто уравнение и да добавите лявата страна на първото уравнение към лявата страна на второто уравнение. Ако се направи правилно, една от променливите ще се анулира. Нека се опитаме да продължим изчислението от предишния пример:
- Вашите две уравнения са 6x - 2y = 6 и - x + 2y = 4.
- Добавете левите страни на двете уравнения: 6x - 2y - x + 2y =?
- Добавете дясните страни на двете уравнения: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Стъпка 4. Вземете последната стойност на променливата
Опростете своето уравнение и работете със стандартна алгебра, за да получите стойността на последната променлива. Ако след опростяване уравнението няма променливи, продължете до последната стъпка в този раздел.
В противен случай ще получите стойност за една от променливите. Като пример:
- Известно е 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Групови променливи х и y заедно: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Опростете уравнението: 5x = 10
- Намерете стойността x: (5x)/5 = 10/5, придобивам x = 2.
Стъпка 5. Намерете стойността на друга променлива
Открихте стойността на една променлива, но какво ще кажете за другата? Включете отговора си в едно от уравненията, за да намерите стойността на останалата променлива. Като пример:
- Известно е x = 2, и едно от уравненията в задачата е 3x - y = 3.
- Заменете променливата x с 2: 3 (2) - y = 3.
- Намерете стойността на y в уравнението: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, така 6 = 3 + y
- 3 = у
Стъпка 6. Знайте какво да правите, когато двете променливи се анулират взаимно
Понякога комбинирането на две уравнения води до уравнение, което няма смисъл или не ви помага да решите проблема. Прегледайте работата си и ако сте сигурни, че не сте направили нищо лошо, напишете един от следните два отговора:
- Ако комбинираното уравнение няма променливи и не е вярно (например 2 = 7), този проблем нямат отговор. Този отговор се отнася и за двете уравнения. (Когато това е начертано, тези две уравнения са успоредни и никога не се срещат.)
- Ако комбинираното уравнение няма променливи и Правилно, (напр. 0 = 0), което означава, че въпросът има неограничени отговори. Тези две уравнения са идентични помежду си. (Когато са начертани, тези две уравнения са една и съща линия.)
Метод 3 от 3: Начертайте графика на уравненията
Стъпка 1. Изпълнете този метод само когато сте инструктирани
Освен ако не използвате компютър или графичен калкулатор, този метод може да предостави само приблизителни отговори. Вашият учител или учебник може да ви каже да използвате този метод, за да придобиете навика да рисувате уравнения като линии. Този метод може да се използва и за проверка на отговора на един от методите по -горе.
Основната идея е, че трябва да опишете двете уравнения и да намерите пресечната им точка. Стойността на x и y в тази точка на пресичане е отговорът на проблема
Стъпка 2. Намерете y-стойностите и на двете уравнения
Не комбинирайте двете уравнения и променяйте всяко уравнение, така че форматът да е "y = _x + _". Като пример:
- Първото ви уравнение е 2x + y = 5. Промени на y = -2x + 5.
- Първото ви уравнение е - 3x + 6y = 0. Промени на 6y = 3x + 0, и опростете до y = x + 0.
- Ако двете ви уравнения са абсолютно еднакви, цялата линия е "пресечната точка" на двете уравнения. Пиши неограничени отговори като отговор.
Стъпка 3. Начертайте координатните оси
Начертайте вертикална линия „ос y“и хоризонтална линия „ос x“на диаграма. Започвайки от точката, където двете оси се пресичат (0, 0), запишете етикетите с номера 1, 2, 3, 4 и така нататък, последователно насочени нагоре по оста y и сочещи надясно по оста x. След това запишете етикетите с числа -1, -2 и т.н., последователно насочени надолу по оста y и сочещи наляво по оста x.
- Ако нямате милиметрова хартия, използвайте линийка, за да се уверите, че разстоянието между всяко число е абсолютно същото.
- Ако използвате големи числа или десетични знаци, препоръчваме да мащабирате графиката си (напр. 10, 20, 30 или 0, 1, 0, 2, 0, 3 вместо 1, 2, 3).
Стъпка 4. Начертайте точката на y-прихващане за всяко уравнение
Ако уравнението е във формата y = _x + _, можете да започнете да рисувате графика, като направите точката, където линията на уравнението се пресича с оста y. Стойността на y винаги е същата като последното число в уравнението.
-
Продължавайки предишния пример, първият ред (y = -2x + 5) пресича оста y при
Стъпка 5.. втори ред (y = x + 0) пресича оста y при 0. (Тези точки са записани като (0, 5) и (0, 0) на графиката.)
- Ако е възможно, нарисувайте първия и втория ред с различни цветни химикалки или моливи.
Стъпка 5. Използвайте наклона, за да продължите линията
Във формат на уравнение y = _x + _, числото пред x показва „нивото на наклона“на линията. Всеки път, когато x се увеличава с единица, стойността на y ще се увеличава с броя на нивата на наклона. Използвайте тази информация, за да намерите точките за всеки ред на графиката, когато x = 1. (Можете също да въведете x = 1 във всяко уравнение и да намерите стойността на y.)
- Продължавайки предишния пример, линията y = -2x + 5 има наклон от - 2. В точка x = 1 линията се движи надолу по 2 от точката x = 0. Начертайте права, свързваща (0, 5) с (1, 3).
- Линия y = x + 0 има наклон от ½. При x = 1 линията се движи езда от точка x = 0. Начертайте линия, свързваща (0, 0) с (1,).
- Ако две линии имат еднакъв наклон, двете никога няма да се пресекат. Следователно тази система от уравнения няма отговор. Пиши без отговор като отговор.
Стъпка 6. Продължете да свързвате линиите, докато двете линии се пресекат
Спрете работата и разгледайте графиката си. ако двете линии се пресичат, продължете към следващата стъпка. Ако не, вземете решение въз основа на позицията на двата реда:
- Ако двете линии се доближат една до друга, продължете да свързвате точките на вашите ивици.
- Ако двете линии се отдалечат една от друга, върнете се и свържете точките в противоположни посоки, започвайки от x = 1.
- Ако двете линии са много далеч един от друг, опитайте да прескочите и да свържете точките по -далеч, например x = 10.
Стъпка 7. Намерете отговора в точката на пресичане
След като двете линии се пресекат, стойността на x и y в тази точка е отговорът на вашия проблем. Ако имате късмет, отговорът ще бъде цяло число. Например в нашия пример двете линии се пресичат в точката (2, 1) така че отговорът е x = 2 и y = 1. В някои системи на уравнения точката, в която линията се пресича, е между две цели числа и ако графиката не е много точна, е трудно да се определи къде са стойностите x и y в точката на пресичане. Ако е позволено, можете да напишете „x е между 1 и 2“като отговор или да използвате метода на заместване или елиминиране, за да намерите отговора.
Съвети
- Можете да проверите работата си, като включите отговорите в първоначалното уравнение. Ако уравнението се окаже вярно (напр. 3 = 3), това означава, че отговорът ви е верен.
- Когато използвате метода на елиминиране, понякога трябва да умножите уравнението с отрицателно число, така че променливите да могат да се анулират взаимно.
