6 начина за изчисляване на обема

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-15 08:09

Обемът на обект представлява триизмерното пространство, заето от обекта. Можете също така да мислите за обема като количество вода (или въздух, или пясък и т.н.), която форма може да побере, ако формата е напълно запълнена. Обикновено единицата за обем е кубическият сантиметър (cm³), кубични метри (m³), кубични инчове (инча³) и кубични фута (фута³). Тази статия ще ви научи как да изчислявате обемите на шест различни триизмерни форми, които често се срещат на изпитите по математика, включително кубчета, сфери и конуси. Може да забележите, че много от тези формули за обем споделят нещо общо, така че са лесни за запомняне. Вижте дали можете да разберете това!

Информация с един поглед: Изчисляване на обема на общите формуляри

1. За плътен куб или квадрат измерете дължината, ширината и височината и след това ги умножете заедно, за да получите обема. Вижте снимки и подробности.
2. Измерете височината на тръбата и нейния основен радиус. Използвайте този радиус, за да намерите основната площ, използвайки формулата r², след това умножете резултата по височината на тръбата. Вижте снимки и подробности.
3. Стандартната пирамида има обем, равен на x основна площ x височина. Вижте снимки и подробности.
4. Обемът на конус може да се изчисли по формулата r²h, където r е радиусът на основата и h е височината на конуса. Вижте снимки и подробности.

5. За да измерите обема на сфера, всичко, от което се нуждаете, е нейният радиус r. Включете тази стойност във формулата ⁴/₃r³. Вижте снимки и подробности.

   Стъпка

   Метод 1 от 6: Изчисляване на обема на куб

   

   Стъпка 1. Познайте формата на куб

   Кубът е триизмерна форма, която има шест квадратни страни с еднакъв размер. С други думи, кубът е кутия с всички страни с еднакъв размер.

   6-страничната матрица е пример за куб, който може да намерите във вашия дом. Захарни блокчета и букви за детски играчки обикновено също са кубчета

   

   Стъпка 2. Научете формулата за обема на куб

   Формулата е проста V = s3, където V представлява обема, а s представлява дължината на страната на куба.

   За да намерите s³, умножете a по собствената му стойност 3 пъти: s³ = s * s * s

   

   Стъпка 3. Измерете дължината на едната страна на куба

   В зависимост от заданието ви, кубът може вече да има надпис на тази информация, или ще трябва да измерите дължината на страните с линийка. Имайте предвид, че тъй като това е куб, всички странични дължини ще бъдат еднакви, така че няма значение коя страна измервате.

   Ако не сте 100% сигурни, че формата ви е куб, измерете всяка страна, за да видите дали е със същия размер. Ако те не са еднакви, трябва да използвате метода по -долу, за да изчислите обема на блока

   

   Стъпка 4. Включете дължините на страните във формулата V = s³ и бройте.

   Например, ако дължината на страните на вашия куб е 5 инча, тогава бихте написали формулата така: V = (5 инча)³. 5 инча * 5 инча * 5 инча = 125 инча³, това е обемът на нашия куб!

   

   Стъпка 5. Изразете резултата в кубични единици

   В горния пример дължините на страните на нашия куб се измерват в инчове, така че единицата за обем е в кубични инчове. Ако дължината на страната е 3 сантиметра, например, обемът е V = (3 см)³, или V = 27 cm³.

   Метод 2 от 6: Изчисляване на обема на блока

   

   Стъпка 1. Познайте формата на блок

   Блок, наричан още правоъгълна призма, е триизмерна форма с шест страни, които са всички правоъгълни. С други думи, блокът е триизмерна правоъгълна форма или формата на кутия.

   Кубът е просто специален блок с всички страни с еднакъв размер

   

   Стъпка 2. Научете формулата за изчисляване на обема на кубоид

   Формулата за обема на кубоида е Обем = дължина * ширина * височина или V = plt.

   

   Стъпка 3. Намерете дължината на блока

   Тази дължина е най -дългата част от страната на гредата, която е успоредна на повърхността, върху която е поставена гредата. Тази дължина може вече да е посочена в диаграмата или може да се наложи да я измерите с линийка или рулетка.

   • Пример: Дължината на този блок е 4 инча, така че р = 4 инча.
   • Не се притеснявайте много за това коя страна е дължината, ширината и височината. Докато използвате три различни измервания, крайният резултат ще бъде един и същ, независимо от начина, по който ги поръчвате.

   

   Стъпка 4. Намерете ширината на гредата

   Ширината на лъча е измерването на по -късата страна на твърдото тяло, успоредна на мястото, където е поставен лъчът. Отново потърсете етикет на диаграмата, който показва ширината, или го измерете сами с линийка или рулетка.

   • Пример: Ширината на този блок е 3 инча, така че l = 3 инча.
   • Ако измервате блокове с линийка или ролетка, уверете се, че го правите, като използвате същите единици. Не измервайте едната страна в инчове, а другата в сантиметри; всички измервания трябва да използват едни и същи единици!

   

   Стъпка 5. Намерете височината на блока

   Тази височина е разстоянието от повърхността на гредата, поставена до върха на гредата. Потърсете информацията за височината във вашата диаграма или се измерете с линийка или рулетка.

   Пример: Височината на този блок е 6 инча, така че t = 6 инча

   

   Стъпка 6. Включете кубовидните измервания във формулата за обем и ги изчислете

   Не забравяйте, че V = plt.

   В нашия пример p = 4, l = 3 и t = 6. Следователно, V = 4 * 3 * 6 или 72

   

   Стъпка 7. Уверете се, че записвате резултата в кубични единици

   Тъй като нашият пробен блок се измерва в инчове, неговият обем трябва да бъде записан като 72 кубични инча или 72 инча³.

   Ако измерванията на нашия кубовид са: дължина = 2 см, ширина = 4 см и височина = 8 см, тогава обемът на блока е 2 см * 4 см * 8 см или 64 см³.

   Метод 3 от 6: Изчисляване на обема на тръбата

   

   Стъпка 1. Определете формата на тръба

   Тръбата е триизмерна форма с два еднакви плоски края, които са с кръгла форма, и извита страна, свързваща двата.

   Кутия е пример за тръба, както и батерии AA или AAA

   

   Стъпка 2. Запомнете формулата за обема на цилиндър

   За да изчислите обема на цилиндър, трябва да знаете височината и радиуса на основния кръг (разстоянието от центъра на окръжността до ръбовете) отгоре и отдолу. Формулата е V = r²t, където V е обемът, r е радиусът на основния кръг, t е височината и е постоянната стойност на pi.

   • При някои геометрични проблеми отговорът ще бъде около pi, но в повечето случаи можем да закръглим pi до 3, 14. Потвърдете това с вашия инструктор, за да видите кой предпочита.
   • Формулата за намиране на обема на цилиндър всъщност е много подобна на формулата за обема на кубоид: просто умножавате височината на формата с повърхността на основата. В кубоидната формула тази повърхност е p * l, докато за цилиндър е r²площ на окръжност с радиус r.

   

   Стъпка 3. Намерете основния радиус

   Ако е дадено в диаграмата, използвайте стойността. Ако диаметърът е даден вместо радиуса, всичко, което трябва да направите, е да разделите на 2, за да разберете стойността на радиуса (d = 2r).

   

   Стъпка 4. Измерете обекта, ако не е даден радиус

   Имайте предвид, че точното измерване на тръбата може да бъде доста трудно. Един от начините е да се измери дъното на тръбата, насочено нагоре с линийка или измервателна лента. Правете всичко възможно, за да измерите ширината на цилиндъра в най -широката му част и разделете на 2, за да намерите радиуса.

   • Друг вариант за измерване на обиколката на тръба (разстоянието около нея) е да използвате рулетка или парче конци, които можете да маркирате и измерите дължината с линийка. След това включете това измерване във формулата C (обиколка) = 2πr. Разделете обиколката на 2π (6.28) и ще получите радиуса.
   • Например, ако обиколката, която измервате, е 8 инча, тогава радиусът е 1,27 инча.
   • Ако наистина се нуждаете от точни измервания, можете да използвате и двата метода, за да сте сигурни, че вашите измервания са еднакви. Ако не, проверете отново и двете. Обикновено методът на обиколката дава по -точни резултати.

   

   Стъпка 5. Изчислете площта на основния кръг

   Включете стойността на основния радиус във формулата r². След това умножете радиуса сам по себе си веднъж и отново умножете резултата по. Като пример:

   • Ако радиусът на кръга ви е 4 инча, тогава основната площ е A = 4².
   • 4² = 4 * 4 или 16. 16 * (3.14) = 50.24 инча²
   • Ако диаметърът на основата е даден вместо радиуса, не забравяйте, че d = 2r. Просто трябва да разделите диаметъра наполовина, за да намерите радиуса.

   

   Стъпка 6. Намерете височината на тръбата

   Това е разстоянието между двете половини на кръга или разстоянието от повърхността, върху която е поставена тръбата. Потърсете етикет на вашата диаграма, показващ височината на тръбата, или го измерете с линийка или рулетка.

   

   Стъпка 7. Умножете площта на основата по височината на цилиндъра, за да намерите обема

   Или можете да пропуснете една стъпка и да въведете стойностите на размерите на тръбата във формулата V = r²T. За нашия пример с тръба с радиус 4 инча и височина 10 инча:

   • V = 4²10
   • 4² = 50, 24
   • 50.24 * 10 = 502, 4
   • V = 502, 4

   

   Стъпка 8. Не забравяйте да посочите отговора си в кубични единици

   Нашата тръба за проба се измерва в инчове, така че нейният обем трябва да бъде изразен в кубични инчове: V = 502,4 инча³. Ако нашият цилиндър се измерва в сантиметри, тогава обемът му ще бъде изразен в кубични сантиметри (cm³).

   Метод 4 от 6: Изчисляване на обема на обикновена пирамида

   

   Стъпка 1. Разберете какво е правилна пирамида

   Пирамидата е триизмерна форма с многоъгълник като основа и странични страни, които се съединяват в оста (върхът на пирамидата). Правилната пирамида е пирамида, където основата е стандартен многоъгълник, което означава, че всички страни на многоъгълника са равни по дължина и всички ъгли са еднакви.

   • Обикновено мислим, че пирамидата има квадратна основа, със страни, които завършват до точка, но всъщност основата на пирамида може да има 5, 6 или дори 100 страни!
   • Пирамида с кръгла основа се нарича конус, който ще бъде разгледан в следващия метод.

   

   Стъпка 2. Научете формулата за изчисляване на обема на обикновена пирамида

   Тази формула е V = 1/3bt, където b е площта на основата на пирамидата (формата на многоъгълника под нея) и t е височината на пирамидата или вертикалното разстояние от основата до върха.

   Формулата за обема на дясна пирамида е същата, където върхът е директно над центъра на основата, и за наклонена пирамида, където върхът не е в средата

   

   Стъпка 3. Изчислете основната площ

   Формулата за това ще зависи от броя на страните, които има основата на пирамида. В пирамидата в нашата диаграма основата е квадрат със страни с дължина 6 инча. Не забравяйте, че формулата за площта на квадрат е A = s², където s е дължината на страната. Така че за тази пирамида основната площ е (6 инча) ², или 36 инча².

   • Формулата за площта на триъгълник е: A = 1/2bt, където b е основата на триъгълника, а t е височината.
   • Можете да намерите площта на стандартен многоъгълник, използвайки формулата A = 1/2pa, където A е площта, p е периметърът на фигурата, а a е апотемата или разстоянието от средната точка на формата до средната точка от една от страните му. Това е по -сложно изчисление, което няма да разглеждаме в тази статия, но можете да посетите статията Изчисляване на площта на многоъгълник, за да научите някои добри инструкции как да го използвате. Или можете да опростите този процес и да потърсите онлайн калкулатор на многоъгълник.

   

   Стъпка 4. Намерете височината на пирамидата

   В повечето случаи това ще бъде показано на диаграмата. В нашия пример височината на пирамидата е 10 инча.

   

   Стъпка 5. Умножете площта на основата на пирамидата по нейната височина и разделете на 3, за да намерите обема

   Не забравяйте, че формулата за обем е V = 1/3bt. В нашия пример пирамида, която има площ 36 и височина 10, обемът е: 36 * 10 * 1/3 или 120.

   Ако използваме друга пирамида, например такава, която има основа с форма на петоъгълник с площ 26 и височина 8, обемът ще бъде: 1/3 * 26 * 8 = 69, 33

   

   Стъпка 6. Не забравяйте да посочите отговора си в кубични единици

   Измерванията в нашия примерна пирамида са в инчове, така че обемът трябва да бъде изразен в кубични инчове, 120. Ако нашата пирамида се измерва в метри, обемът трябва да бъде изразен в кубични метри (m³).

   Метод 5 от 6: Изчисляване на обема на конус

   

   Стъпка 1. Научете формата на конуса

   Конусът е триизмерна форма с кръгла основа и връх. Друг начин да мислите за него е да мислите за конуса като за пирамида с кръгла основа.

   Ако върхът на конуса е точно в центъра на окръжността, тогава конусът е „истински конус“. Ако върхът не е точно в средата, тогава конусът се нарича "коса конус". За щастие формулата за изчисляване на обема на двете е една и съща

   

   Стъпка 2. Овладейте формулата за изчисляване на обема на конус

   Формулата е V = 1/3πr²t, където r е радиусът на кръговата основа на конуса, където t е височината и е константата pi, която е закръглена до 3,14.

   р. част² от формулата се отнася до площта на основата на кръговия конус. Следователно формулата за обема на конус е 1/3bt, точно както формулата за обема на пирамида в предишния метод!

   

   Стъпка 3. Изчислете площта на кръговата основа на конуса

   За да направите това, трябва да знаете радиуса, който вече трябва да бъде записан във вашата диаграма. Ако ви е даден само диаметърът, разделете тази стойност на 2, защото диаметърът е 2 пъти по -голям от радиуса (d = 2r). След това въведете стойността на радиуса във формулата A = r² за изчисляване на площта.

   • В примера в диаграмата радиусът на основата на конуса е 3 инча. Когато го включим във формулата, тогава: A = 3².
   • 3² = 3 *3 или 0, така че A = 9π.
   • A = 28, 27 инча²

   

   Стъпка 4. Намерете височината на конуса

   Това е вертикалното разстояние между основата на конуса и върха му. В нашия пример височината на конуса е 5 инча.

   

   Стъпка 5. Умножете височината на конуса по площта на основата

   В нашия пример тази област е 28,27 инча² и височината е 5 инча, така че bt = 28, 27 * 5 = 141, 35.

   

   Стъпка 6. Сега умножете резултата с 1/3 (или можете да разделите на 3), за да намерите обема на конуса

   В горната стъпка изчислихме обема на цилиндъра, който би се образувал, ако стените на конуса се простират направо в друга окръжност, вместо да се стесняват до точка. Разделянето на 3 ще ви даде обема на самия конус.

   • В нашия пример 141, 35 * 1/3 = 47, 12, това е обемът на конуса.
   • Алтернативно, 1/3π3²5 = 47, 12

   

   Стъпка 7. Не забравяйте да посочите отговора си в кубични единици

   Нашият конус се измерва в инчове, така че неговият обем трябва да бъде изразен в кубични инчове: 47,12 инча³.

   Метод 6 от 6: Изчисляване на обема на топката

   

   Стъпка 1. Разберете формата

   Сферата е перфектно сферичен триизмерен обект, където всяка точка на нейната повърхност е на същото разстояние от центъра си. С други думи, тук са включени сферични обекти.

   

   Стъпка 2. Научете формулата за обема на сфера

   Формулата за обема на тази сфера е V = 4/3πr³ (прочетете: "четири трети pi r-куб") където r е радиусът на сферата и е константата на щифта (3, 14).

   

   Стъпка 3. Намерете радиуса на сферата

   Ако е даден радиусът, тогава намирането на r е просто лесен въпрос. Ако диаметърът е даден, трябва да разделите на 2, за да намерите стойността на радиуса. Например, радиусът на сферата в нашата диаграма е 3 инча.

   

   Стъпка 4. Измерете топката, ако радиусът е неизвестен

   Ако трябва да измерите сферичен обект (като топка за тенис), за да намерите радиуса му, първо вземете струна, достатъчно голяма, за да се увие около обекта. След това завъртете обекта в най -широката му точка и маркирайте мястото, където низът отново докосва края. След това измерете нишката с линийка, за да намерите външната й обиколка. Разделете тази стойност на 2π или 6, 28 и получавате радиуса на сферата.

   • Например, ако измерите сфера и намерите периферната точка от 18 инча, разделете на 6,28 и ще получите радиус от 2,87 инча.
   • Измерването на сферични обекти може да бъде малко сложно, затова се уверете, че измервате 3 различни времена и вземете средното (добавете и трите измервания, след това разделете на 3), за да сте сигурни, че получавате най -точната стойност.
   • Например, ако вашите външни обиколки са 18 инча, 17,75 инча и 18,2 инча, добавете ги всички (18 + 17,5 + 18, 2 = 53,95) и разделете резултата на 3 (53,95/3 = 17, 98). Използвайте тази средна стойност при изчисленията на обема.

   

   Стъпка 5. Кубически радиус за намиране на r³.

   Това означава, че трябва да го умножите по самото число 3 пъти, така че r³ = r * r * r. В нашия пример r = 3, значи r³ = 3 * 3 * 3 или 27.

   

   Стъпка 6. Сега умножете отговора си на 4/3

   Можете да използвате калкулатор или да го изчислите ръчно и да опростите дробата. В нашия пример умножаваме 27 по 4/3 = 108/3 или 36.

   

   Стъпка 7. Умножете резултата с, за да намерите обема на сферата

   Последната стъпка в изчисляването на обема е да се умножи резултатът по. Закръгляването до две цифри обикновено е достатъчно за повечето математически задачи (освен ако учителят не каже друго), така че умножете по 3, 14 и ще намерите отговора.

   В нашия пример 36 * 3, 14 = 113, 09

   

   Стъпка 8. Изразете отговора си в кубични единици

   В нашия пример радиусът на сферата се измерва в инчове, така че нашият реален отговор е V = 113,09 кубични инча (113,09 инча).³).