Две дроби са еквивалентни, ако имат еднаква стойност. Да знаеш как да преобразуваш дроби в техните еквивалентни форми е изключително важно математическо умение, необходимо за всички форми на математиката от основна алгебра до напреднало смятане. Тази статия ще предостави няколко начина за изчисляване на еквивалентни дроби от основно умножение и деление до по -сложни начини за решаване на еквивалентни дробни уравнения.
Стъпка
Метод 1 от 5: Подреждане на еквивалентни дроби
Стъпка 1. Умножете числителя и знаменателя със същото число
Две различни, но еквивалентни дроби имат по дефиниция числител и знаменател, които са кратни един на друг. С други думи, умножаването на числителя и знаменателя на дроб с един и същ номер ще доведе до еквивалентни дроби. Въпреки че числата в новата дроб ще бъдат различни, дробите ще имат същата стойност.
- Например, ако вземем дроб 4/8 и умножим числителя и знаменателя по 2, получаваме (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Тези две дроби са еквивалентни.
- (4 × 2)/(8 × 2) всъщност е същото като 4/8 × 2/2. Не забравяйте, че когато умножаваме две дроби, ние умножаваме направо, което означава числителя по числителя и знаменателя по знаменателя.
- Обърнете внимание, че 2/2 е равно на 1, ако направите делението. По този начин е по -лесно да се разбере защо 4/8 и 8/16 са еквивалентни, защото умножаването 4/8 × (2/2) = остава 4/8. По същия начин, това е същото като да кажеш 4/8 = 8/16.
- Всяка дадена дроб има безкраен брой еквивалентни дроби. Можете да умножите числителя и знаменателя с всяко цяло число, независимо от размера или малкия, за да получите еквивалентна дроб.
Стъпка 2. Разделете числителя и знаменателя на едно и също число
Подобно на умножението, разделянето може да се използва и за намиране на нова дроб, която е еквивалентна на вашата първоначална дроб. Просто разделете числителя и знаменателя на дроб на същото число, за да получите еквивалентната дроб. Има един недостатък на този процес - крайната дроб трябва да има цели числа както в числителя, така и в знаменателя, за да е вярно.
Например, нека да погледнем назад към 4/8. Ако вместо да умножим, разделим и числителя, и знаменателя на 2, получаваме (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 и 4 са цели числа, така че тези еквивалентни дроби са верни
Метод 2 от 5: Използване на основно умножение за определяне на равенството
Стъпка 1. Намерете числото, което трябва да бъде умножено по по -малкия знаменател, за да получите по -големия знаменател
Много проблеми относно дробите включват определяне дали две дроби са еквивалентни. Изчислявайки това число, можете да започнете да приравнявате дробните членове, за да определите равенството.
- Например, използвайте отново дробите 4/8 и 8/16. По -малкият знаменател е 8 и трябва да умножим числото с 2, за да получим по -големия знаменател, който е 16. Така че числото в този случай е 2.
- За по -трудни числа можете да разделите по -големия знаменател на по -малкия. В този случай 16 се дели на 8, което все още дава 2.
- Числото не винаги е цяло число. Например, ако знаменателите са 2 и 7, тогава числото е 3, 5.
Стъпка 2. Умножете числителя и знаменателя на дробата с по -малкия член по числото от първата стъпка
Две различни, но еквивалентни дроби имат по дефиниция: числител и знаменател, които са кратни един на друг. С други думи, умножаването на числителя и знаменателя на дроб с един и същ номер ще доведе до еквивалентна дроб. Въпреки че числата в тази нова дроб ще бъдат различни, тези дроби ще имат същата стойност.
Например, ако използваме дроб 4/8 от първа стъпка и умножим числителя и знаменателя по дефинираното по -рано число, което е 2, получаваме (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Този резултат доказва, че тези две дроби са еквивалентни.
Метод 3 от 5: Използване на основно разделение за определяне на равенството
Стъпка 1. Пребройте всяка дроб като десетично число
За прости дроби без променливи можете да представите всяка дроб като десетично число, за да определите равенството. Тъй като всяка дроб всъщност е проблем с делението, това е най -простият начин за определяне на равенството.
- Например, използвайте фракцията, която използвахме по -рано, 4/8. Дробът 4/8 е еквивалентен на 4, разделено на 8, което е 4/8 = 0,5. Можете да решите и другия пример, който е 8/16 = 0,5. Без значение от термините в дроб, дробът е еквивалентен ако и двата числа са еднакви, когато са представени в десетична запетая.
- Имайте предвид, че десетичните изрази могат да имат множество цифри, преди равенството да е очевидно. Като основен пример, 1/3 = 0,333 се повтаря, докато 3/10 = 0,3. Използвайки повече от една цифра, виждаме, че тези две дроби не са еквивалентни.
Стъпка 2. Разделете числителя и знаменателя на дроб на същото число, за да получите еквивалентна дроб
За по -сложни дроби методът на разделяне изисква допълнителни стъпки. Докато с умножение можете да разделите числителя и знаменателя на дроб на същото число, за да получите еквивалентна дроб. Има един недостатък на този процес. Крайната дроб трябва да има цели числа както в числителя, така и в знаменателя, за да е вярно.
Например, нека да погледнем назад към 4/8. Ако вместо да умножим, разделим числителя и знаменателя на 2, получаваме (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 и 4 са цели числа, така че тези еквивалентни дроби са верни.
Стъпка 3. Опростете дробите до най -простите им условия
Повечето дроби обикновено се пишат с най -простите им термини и можете да конвертирате дроби в най -простата им форма, като ги разделите на най -големия общ коефициент (GCF). Тази стъпка се извършва по същата логика като писането на еквивалентни дроби, превръщайки ги в един и същ знаменател, но този метод се опитва да опрости всяка дроб до възможно най -малките й членове.
- Когато дроб е в най -простата си форма, числителят и знаменателят имат възможно най -малките стойности. И двете не могат да бъдат разделени с произволно цяло число, за да се получи по -малката стойност. За да преобразуваме дроб, която не е в най -простата си форма, в най -простата еквивалентна форма, разделяме числителя и знаменателя на най -големия им общ множител.
-
Най -големият общ фактор (GCF) на числителя и знаменателя е най -голямото число, което ги разделя, за да се получи цяло число. Така че в нашия пример 4/8, защото
Стъпка 4. е най -голямото число, което се дели на 4 и 8, ще разделим числителя и знаменателя на нашата дроб на 4, за да получим най -простите членове. (4 4)/(8 4) = 1/2. За другия ни пример 8/16, GCF е 8, което също връща стойността 1/2 като най -простия израз на дроб.
Метод 4 от 5: Използване на кръстосани продукти за намиране на променливи
Стъпка 1. Подредете двете дроби така, че да са равни една на друга
Ние използваме кръстосано умножение за математически задачи, където знаем, че дробите са еквивалентни, но едно от числата е заменено с променлива (обикновено x), която трябва да решим. В такива случаи знаем, че тези дроби са еквивалентни, защото са единствените термини от другата страна на знака за равенство, но често начинът за намиране на променливата не е очевиден. За щастие, с кръстосано умножение, решаването на този тип проблеми е лесно.
Стъпка 2. Вземете две еквивалентни дроби и ги умножете по форма „X“
С други думи, умножавате числителя на една дроб с знаменателя на друга дроб и обратно, след което подреждате двата отговора така, че да съвпадат помежду си и да решават.
Вземете нашите два примера, 4/8 и 8/16. Нито една от тях няма променлива, но можем да докажем концепцията, защото вече знаем, че те са еквивалентни. Чрез кръстосано умножение получаваме 4/16 = 8 x 8 или 64 = 64, което е вярно. Ако тези две числа не са равни, тогава дробите не са еквивалентни
Стъпка 3. Добавете променливи
Тъй като кръстосаното умножение е най -лесният начин за определяне на еквивалентни дроби, когато трябва да намерите променливи, нека добавим променливи.
-
Например, нека използваме уравнението 2/x = 10/13. За да кръстосваме умножение, умножаваме 2 по 13 и 10 по x, след което задаваме нашите отговори равни един на друг:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. От тук намирането на отговора на нашата променлива е проста задача от алгебрата. x = 26/10 = 2, 6, като първоначалната еквивалентна дроб е 2/2, 6 = 10/13.
Стъпка 4. Използвайте кръстосано умножение за дроби с множество променливи или променливи изрази
Едно от най -добрите неща при кръстосаното умножение е, че всъщност работи по същия начин, независимо дали работите с две прости дроби (както по -горе) или по -сложни дроби. Например, ако и двете дроби имат променливи, трябва само да премахнете тези променливи в процеса на решаване. По същия начин, ако числителят или знаменателят на вашата дроб има променлив израз (като x + 1), просто го "умножете", използвайки разпределителното свойство и решете както обикновено.
-
Например, нека използваме уравнението ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). В този случай, както по -горе, ще го разрешим чрез кръстосан продукт:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, тогава можем да опростим дробата, като извадим 2x от двете страни
- 2 = 2x + 12, след което изолираме променливата, като изваждаме 12 от двете страни
- -10 = 2x и разделете на 2, за да намерите x
- - 5 = x
Метод 5 от 5: Използване на квадратни формули за намиране на променливи
Стъпка 1. Пресечете двете дроби
За проблеми с равенството, които изискват квадратна формула, все пак започваме с използване на кръстосано произведение. Въпреки това, всеки кръстосан продукт, който включва умножаване на условията на променлива с термините на друга променлива, вероятно ще доведе до израз, който не може да бъде лесно решен с помощта на алгебра. В такива случаи може да се наложи да използвате техники като факторинг и/или квадратни формули.
-
Например, нека разгледаме уравнението ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). Първо, нека кръстосваме умножение:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
Стъпка 2. Напишете уравнението като квадратно уравнение
В този раздел искаме да напишем това уравнение в квадратна форма (ax2 + bx + c = 0), което правим, като задаваме уравнението равно на нула. В този случай изваждаме 12 от двете страни, за да получим 2x2 - 14 = 0.
Някои стойности може да са равни на 0. Въпреки че 2x2 - 14 = 0 е най -простата форма на нашето уравнение, реалното квадратно уравнение е 2x2 + 0x + (-14) = 0. В началото може да е полезно да запишете формата на квадратното уравнение, дори ако някои стойности са равни на 0.
Стъпка 3. Решете, като включите числата от квадратното уравнение в квадратната формула
Квадратична формула (x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a) ще ни помогне да намерим нашата x стойност в този раздел. Не се страхувайте от дължината на формулата. Просто вземате стойностите от квадратното си уравнение във втора стъпка и ги поставяте на правилните места, преди да ги решите.
- x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a. В нашето уравнение 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 и c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112))/2 (2)
- x = (+/- (112))/2 (2)
- x = (+/- 10,58/4)
- x = +/- 2, 64
Стъпка 4. Проверете отговора си, като въведете отново стойността на x във вашето квадратно уравнение
Като включите изчислената стойност x обратно във вашето квадратно уравнение от стъпка втора, можете лесно да определите дали сте получили правилния отговор. В този пример ще включите 2, 64 и -2, 64 в първоначалното квадратно уравнение.
Съвети
- Преобразуването на дроб в еквивалент всъщност е форма на умножаване на дроб по 1. При преобразуване на 1/2 в 2/4 умножаването на числителя и знаменателя по 2 е същото като умножаването на 1/2 по 2/2, което е равно на 1.
-
Ако желаете, преобразувайте смесеното число в обща дроб, за да улесните преобразуването. Разбира се, не всички дроби, които срещнете, ще бъдат толкова лесни, колкото преобразуването на нашия пример 4/8 по -горе. Например, смесените числа (като 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 и т.н.) могат да направят процеса на преобразуване малко по -сложен. Ако трябва да преобразувате смесено число в обща дроб, можете да направите това по два начина: като преобразувате смесеното число в обща дроб, след което го преобразувате както обикновено, или като поддържаме формата на смесени числа и получаваме отговори под формата на смесени числа.
- За да преобразувате в обща дроб, умножете целочисления компонент на смесеното число със знаменателя на дробния компонент и след това добавете към числителя. Например 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. След това, ако желаете, можете да го промените според нуждите. Например 5/3 × 2/2 = 10/6, което остава равно на 1 2/3.
- Не е нужно обаче да го преобразуваме в обща дроб, както по -горе. В противен случай оставяме целият компонент на мира, променяме само дробния компонент и добавяме цялостния компонент непроменен. Например за 3 4/16 виждаме само 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. Така че, като добавим нашите цялостни компоненти обратно, получаваме ново смесено число, 3 1/4.
Внимание
- Умножението и делението могат да се използват за получаване на еквивалентни дроби, тъй като умножението и делението с дробната форма на числото 1 (2/2, 3/3 и т.н.) дава отговор, който е еквивалентен на първоначалната дроб по дефиниция. Събирането и изваждането не могат да се използват.
-
Въпреки че умножавате числителите и знаменателите, когато умножавате дроби, не добавяте или изваждате знаменателите, когато добавяте или изваждате дроби.
Например по -горе знаем, че 4/8 4/4 = 1/2. Ако сумираме с 4/4, получаваме съвсем различен отговор. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 или 3/2, те не са равни на 4/8.
