Как да нарисувате квадратна графика: 10 стъпки (със снимки)

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Последно модифициран: 2024-02-01 14:11

Когато е представено графично, квадратното уравнение е от вида брадва² + bx + c или a (x - h)² + к образуват буквата U или обърната U крива, наречена парабола. Начертаването на квадратно уравнение търси върха, посоката и често пресичането x и y. В случаите на доста прости квадратни уравнения може да е достатъчно да въведете набор от стойности на x и да начертаете кривата въз основа на получените точки. Вижте Стъпка 1 по -долу, за да започнете.

Стъпка

Стъпка 1. Определете формата на квадратното уравнение, което имате

Квадратните уравнения могат да бъдат написани в три различни форми: обща форма, форма на върха и квадратна форма. Можете да използвате всяка форма, за да начертаете квадратно уравнение; процесът на изобразяване на всяка графика е малко по -различен. Ако правите домашна работа, обикновено ще получавате въпроси в една от тези две форми - с други думи, няма да можете да избирате, така че е най -добре да разберете и двете. Двете форми на квадратното уравнение са:

• Обща форма.

  В тази форма квадратното уравнение се записва като: f (x) = ax² + bx + c, където a, b и c са реални числа и a не е нула.

  Например две квадратни уравнения с общ вид са f (x) = x² + 2x + 1 и f (x) = 9x² + 10x -8.

• Форма на върха.

  В тази форма квадратното уравнение се записва като: f (x) = a (x - h)² + k, където a, h и k са реални числа и a не е нула. Нарича се форма на върха, защото h и k веднага ще дадат върха (средната точка) на вашата парабола в точката (h, k).

  Двете уравнения на връхната форма са f (x) = 9 (x - 4)² + 18 и -3 (x - 5)² + 1

• За да начертаем всеки тип уравнение, първо трябва да намерим върха на параболата, който е средната точка (h, k) в края на кривата. Координатите на пиковете в общата форма се изчисляват като: h = -b/2a и k = f (h), докато в пиковата форма h и k са в уравнението.

Стъпка 2. Определете вашите променливи

За да се реши квадратичен проблем, обикновено трябва да се определят променливите a, b и c (или a, h и k). Един обикновен алгебричен проблем ще даде квадратно уравнение с наличните променливи, обикновено в общ вид, но понякога и в пикова форма.

• Например, за уравнение с обща форма f (x) = 2x² + 16x + 39, имаме a = 2, b = 16 и c = 39.
• За уравнението на формата на пика f (x) = 4 (x - 5)² + 12, имаме a = 4, h = 5 и k = 12.

Стъпка 3. Изчислете h

В уравнението на върховата форма стойността на h вече е дадена, но в общото уравнение формата стойността h трябва да бъде изчислена. Не забравяйте, че за уравнения с общ вид h = -b/2a.

• В нашия пример за обща форма (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). След решаването откриваме, че h = - 4.
• В нашия пример за върхова форма (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), ние знаем, че h = 5, без да правим математика.

Стъпка 4. Изчислете k

Подобно на h, k вече е известно в уравнението на пиковата форма. За уравнения с общ вид не забравяйте, че k = f (h). С други думи, можете да намерите k, като замените всички стойности x във вашето уравнение с h стойностите, които току -що открихте.

• Вече определихме в нашия общ пример, че h = -4. За да намерим k, решаваме нашето уравнение, като включим нашата стойност h на мястото на x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Стъпка 7.

• В нашия пример за пикова форма отново знаем стойността на k (която е 12), без да се налага да правим математика.

Стъпка 5. Начертайте своя връх

Върхът на вашата парабола е точката (h, k)-h представлява x-координатата, докато k представлява y-координатата. Върхът е средната точка на вашата парабола - или в долната част на U, или в горната част на обърната U. Познаването на върховете е важна част от изчертаването на точна парабола - често в училищната работа определянето на върха е частта, която трябва да се търси във въпрос.

• В нашия пример за обща форма, нашият пик е (-4, 7). По този начин нашата парабола ще завърши 4 стъпки вляво от 0 и 7 стъпки по -горе (0, 0). Трябва да изобразим тази точка в нашата графика, като внимаваме да отбележим координатите.
• В нашия пример за връх, нашият връх е (5, 12). Трябва да нарисуваме точка 5 стъпки надясно и 12 стъпки по -горе (0, 0).

Стъпка 6. Начертайте оста на параболата (по избор)

Оста на симетрия на парабола е линия, която минава през центъра й, разделяйки я точно в средата. По тази ос лявата страна на параболата ще отразява дясната страна. За квадратни уравнения под формата ax² + bx + c или a (x - h)² + k, оста на симетрия е линията, която е успоредна на оста y (с други думи, точно вертикална) и преминава през върха.

В случая с нашия пример с обща форма, оста е линията, успоредна на оста y и преминаваща през точката (-4, 7). Въпреки че не е част от параболата, тънкото маркиране на тази линия на графиката ви в крайна сметка ще ви помогне да видите симетричната форма на кривата на параболата

Стъпка 7. Намерете посоката на отваряне на параболата

След като знаем върха и оста на параболата, следва да знаем дали параболата се отваря нагоре или надолу. За щастие, това е лесно. Ако стойността на a е положителна, параболата ще се отвори нагоре, докато ако стойността на a е отрицателна, параболата ще се отвори надолу (т.е. параболата ще бъде обърната).

• За нашия пример с обща форма (f (x) = 2x² + 16x + 39), ние знаем, че имаме парабола, която се отваря, защото в нашето уравнение a = 2 (положително).
• За нашия пример за върхова форма (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), ние знаем, че имаме и парабола, която се отваря, защото a = 4 (положително).

Стъпка 8. Ако е необходимо, намерете и нарисувайте х-прихващането

Често в училищната работа ще бъдете помолени да намерите прихващането на x в параболата (която е една или две точки, където параболата се среща с оста x). Дори и да не намерите такава, тези две точки са много важни за изчертаването на точна парабола. Не всички параболи обаче имат х-прихващане. Ако вашата парабола има върх, който се отваря и върхът му е над оста x или ако се отваря надолу и върхът му е под оста x, параболата няма да има х-прихващане. В противен случай разрешете вашето прихващане по един от следните начини:

• Просто направете f (x) = 0 и решете уравнението. Този метод може да се използва за прости квадратни уравнения, особено в пикова форма, но ще бъде много труден за сложни уравнения. Вижте по -долу за пример

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Корен (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 и 13 е х-прихващането в параболата.

• Разложи уравнението си на фактори. Някои уравнения под формата ax² + bx + c може лесно да се включи във формата (dx + e) (fx + g), където dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx и e × g = c. В този случай вашите х-прихващания са х стойности, които ще направят всеки термин в скоби = 0. Например:

  • х² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • В този случай единственото ви x -прихващане е -1, защото ако x е равно -1, всеки фактор в скоби ще бъде равен на 0.

• Използвайте квадратната формула. Ако не можете лесно да разрешите прихващането на x или да умножите уравнението си, използвайте специално уравнение, наречено квадратична формула, създадена за тази цел. Ако все още не е решено, преобразувайте уравнението си във форма ax² + bx + c, след това въведете a, b и c във формулата x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ac))/2a. Имайте предвид, че този метод често ви дава два отговора за стойността на x, което е ОК-това просто означава, че вашата парабола има две х-прихващания. Вижте по -долу за пример:

  • -5 пъти² + 1x + 10 се поставя в квадратната формула по следния начин:
  • x = (-1 +/- Root (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Корен (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- Root (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) и (-15, 18/-10). Прихващането на x в параболата е x = - 1, 318 и 1, 518
  • Предишният ни пример за общата форма, 2x² +16x+39 се поставя в квадратната формула, както следва:
  • x = (-16 +/- Root (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Root (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- Корен (-56)/-10
  • Тъй като е невъзможно да се намери квадратният корен от отрицателно число, ние знаем, че тази парабола няма х-прихващане.

Стъпка 9. Ако е необходимо, намерете и нарисувайте y-прихващането

Въпреки че често не е необходимо да търсите y-прихващане в уравнения (точката, където параболата преминава през оста y), в крайна сметка може да се наложи да го намерите, особено ако сте в училище. Процесът е сравнително прост-просто направете x = 0, след това решете уравнението си за f (x) или y, което дава стойността на y, където вашата парабола преминава през оста y. За разлика от х-прихващането, обикновената парабола може да има само едно y-прихващане. Забележка-за уравнения с обща форма, y-прихващането е при y = c.

• Например, ние знаем, че нашето квадратно уравнение е 2x² + 16x + 39 има y-прихващане при y = 39, но може да се намери и по следния начин:

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Прихващането на y на параболата е в y = 39.

    Както бе отбелязано по-горе, y-прихващането е при y = c.

• Формата на нашето уравнение за връх е 4 (x - 5)² + 12 има y-прихващане, което може да се намери по следния начин:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12
  • f (x) = 112. Прихващането на y на параболата е в y = 112.

  

  Стъпка 10. Ако е необходимо, начертайте допълнителни точки, след това начертайте графика

  Сега имате връх, посока, х-прихващане и евентуално у-прихващане във вашето уравнение. На този етап можете да опитате да начертаете параболата си, като използвате точките, които имате като ръководство, или да потърсите други точки, които да попълнят вашата парабола, така че изчертаната от вас крива да е по -прецизна. Най-лесният начин да направите това е просто да въведете някои x-стойности във всяка страна на вашия връх, след което да начертаете тези точки, като използвате y-стойностите, които получавате. Често учителите ви молят да потърсите няколко точки, преди да нарисувате параболата си.

  • Нека прегледаме уравнението x² + 2x + 1. Вече знаем, че прихващането на x е само при x = -1. Тъй като кривата докосва х-прихващането само в една точка, можем да заключим, че върхът е неговото х-прихващане, което означава, че върхът е (-1, 0). Ефективно имаме само една точка за тази парабола - недостатъчна, за да нарисуваме добра парабола. Нека да потърсим някои други точки, за да сме сигурни, че съставяме задълбочена графика.

    • Нека намерим стойностите на y за следните стойности на x: 0, 1, -2 и -3.
    • За 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Нашата точка е (0, 1).

    • За 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Нашата точка е (1, 4).

    • За -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Нашата точка е (-2, 1).

    • За -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Нашата точка е (-3, 4).

    • Начертайте тези точки на графиката и начертайте вашата U-образна крива. Обърнете внимание, че параболата е напълно симетрична - когато точките ви от едната страна на параболата са цели числа, обикновено можете да намалите работата на просто отразяване на дадена точка по оста на симетрия на параболата, за да намерите същата точка от другата страна на параболата.

  Съвети

  • Закръглете числата или използвайте дроби според молбата на учителя по алгебра. Това ще ви помогне по -добре да начертаете квадратното уравнение.
  • Забележете, че в f (x) = ax² + bx + c, ако b или c е равно на нула, тези числа ще изчезнат. Например 12x² + 0x + 6 става 12x² + 6, защото 0x е 0.