Как да опростите сложните дроби: 9 стъпки (със снимки)

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-15 08:09

Сложната дроб е дроб, в която числителят, знаменателят или и двете също съдържат дроб. Поради тази причина сложните дроби понякога се наричат „подредени дроби“. Опростяването на сложни дроби може да бъде лесно или трудно, в зависимост от това колко числа са в числителя и знаменателя, дали едно от числата е променлива или сложността на числото на променливата. Вижте Стъпка 1 по -долу, за да започнете!

Стъпка

Метод 1 от 2: Опростяване на сложни дроби с обратно умножение

Стъпка 1. Опростете числителя и знаменателя до една дроб, ако е необходимо

Сложните дроби не винаги са трудни за решаване. Всъщност сложните дроби, чиито числител и знаменател съдържат една дроб, обикновено са доста лесни за решаване. Така че, ако числителят или знаменателят (или и двете) на сложна дроб съдържа множество дроби или дроби и цяло число, опростете го, за да получите единична дроб както в числителя, така и в знаменателя. Намерете най -малкото общо кратно (LCM) на две или повече дроби.

Например, да речем, че искаме да опростим сложна дроб (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10). Първо, ще опростим както числителя, така и знаменателя на сложна дроб в една дроб.
- За да опростите числителя, използвайте LCM 15, получен чрез умножаване на 3/5 по и 3/3. Числителят ще бъде 9/15 + 2/15, което е равно на 11/15.
- За да опростим знаменателя, ще използваме резултата от LCM от 70, който се получава чрез умножение 5/7 на 10/10 и 3/10 на 7/7. Знаменателят ще бъде 50/70 - 21/70, което е равно на 29/70.
- По този начин новата сложна фракция е (11/15)/(29/70).

Стъпка 2. Обърнете знаменателя, за да намерите неговата реципрочност

По деление разделянето на едно число на друго е същото като умножаването на първото число с реципрочното на второто число. Сега, когато имаме сложна дроб с единична дроб както в числителя, така и в знаменателя, ще използваме това разделение, за да опростим сложната дроб. Първо намерете реципрочната стойност на фракцията в дъното на сложната фракция. Направете това, като "обърнете" дробата - поставяйки числителя на мястото на знаменателя и обратно.

В нашия пример дробата в знаменателя на комплексната дроб (11/15)/(29/70) е 29/70. За да намерим обратното, го „обръщаме“така, че да получим 70/29.

Обърнете внимание, че ако сложната дроб има цяло число в знаменателя, можем да я третираме като дроб и да намерим нейната реципрочност. Например, ако сложната дроб е (11/15)/(29), можем да направим знаменателя 29/1, което означава, че реципрочният е 1/29.

Стъпка 3. Умножете числителя на сложната дроб с реципрочната стойност на знаменателя

Сега, когато имаме реципрочната стойност на знаменателя на сложната дроб, умножете я по числителя, за да получите единична проста дроб. Не забравяйте, че за да умножите две дроби, ние само кръстосваме умножението - числителят на новата дроб е номерът на числителя на двете стари дроби, както и знаменателя.

В нашия пример ще умножим 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 и 15 × 29 = 435. И така, новата проста дроб е 770/435.

Стъпка 4. Опростете новата дроб, като намерите най -големия общ множител

Вече имаме една проста дроб, така че всичко, което трябва да направим, е да измислим най -простото число. Намерете най -големия общ коефициент (GCF) на числителя и знаменателя и разделете и двете на това число, за да го опростите.

Един от общите фактори на 770 и 435 е 5. Така че, ако разделим числителя и знаменателя на дробата на 5, получаваме 154/87. 154 и 87 нямат общи фактори, така че това е крайният отговор!

Метод 2 от 2: Опростяване на сложни дроби, съдържащи променливи числа

Стъпка 1. Ако е възможно, използвайте горния метод на обратното умножение

За да бъде ясно, почти всички сложни дроби могат да бъдат опростени чрез изваждане на числителя и знаменателя по една дроб и умножаване на числителя по реципрочната стойност на знаменателя. Включени са и сложни дроби, съдържащи променливи, въпреки че колкото по-сложен е изразът на променливите в сложни дроби, толкова по-трудно и отнемащо време ще бъде използването на обратно умножение. За "лесни" сложни дроби, съдържащи променливи, обратното умножение е добър избор, но сложните дроби с множество променливи числа в числителя и знаменателя може да бъдат по -лесни за опростяване по алтернативния начин, описан по -долу.

Например (1/x)/(x/6) е лесно да се опрости чрез обратно умножение. 1/x × 6/x = 6/х². Тук няма нужда да използвате алтернативни методи.
Въпреки това (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) е по -трудно да се опрости чрез обратно умножение. Намаляването на числителя и знаменателя на сложни дроби до единични дроби, умножаване обратно и намаляване на резултата до най -простите числа може да бъде сложен процес. В този случай алтернативният метод по -долу може да бъде по -лесен.

Стъпка 2. Ако обратното умножение не е практично, започнете с намирането на LCM на дробното число в сложната дроб

Първата стъпка е да се намери LCM на всички дробни числа в сложна дроб - както в числителя, така и в знаменателя. Обикновено, ако едно или повече дробни числа имат число в знаменателя, LCM е числото в знаменателя.

Това е по -лесно да се разбере с пример. Нека се опитаме да опростим сложните дроби, споменати по -горе, ((((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))). Дробните числа в тази сложна дроб са (1)/(x+3) и (1)/(x-5). LCM на двете дроби е числото в знаменателя: (x+3) (x-5).

Стъпка 3. Умножете числителя на сложната дроб с новооткрития LCM

След това трябва да умножим числото в сложната дроб с LCM на дробното число. С други думи, ние ще умножим всички сложни дроби по (KPK)/(KPK). Можем да направим това независимо, защото (KPK)/(KPK) е равно на 1. Първо, умножете самите числители.

В нашия пример ще умножим сложната дроб, ((((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5)))), т.е. ((x+ 3) (x-5))/((x+ 3) (x-5)). Трябва да умножим чрез числителя и знаменателя на сложната дроб, като умножим всяко число по (x + 3) (x-5).
- Първо, нека умножим числителите: (((1)/(x+3))+x - 10) × (x+3) (x -5)
  - = (((x+3) (x-5)/(x+3))+x ((x+3) (x-5))-10 ((x+3) (x-5))
  - = (x-5) + (x (x.)² - 2x - 15)) - (10 (x² - 2x - 15))
  - = (x-5) + (x³ - 2x² - 15x) - (10x² - 20x - 150)
  - = (x-5) + x³ - 12 пъти² + 5x + 150
  - = х³ - 12 пъти² +6x +145

Стъпка 4. Умножете знаменателя на сложната дроб с LCM, както бихте направили с числителя

Продължете да умножавате сложната дроб с LCM, намерена, като преминете към знаменателя. Умножете всички, умножете всяко число по LCM.

Знаменателят на нашата сложна дроб, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), е x +4 +((1) // (x-5)). Ще го умножим по LCM, намерен, (x+3) (x-5).
- (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x +3) (x -5)
- = x ((x+3) (x-5))+4 ((x+3) (x-5))+(1/(x-5)) (x+3) (x-5).
- = x (x² - 2x - 15) + 4 (x² - 2x- 15) + ((x + 3) (x-5))/(x-5)
- = x³ - 2x² - 15x + 4x² - 8x - 60 + (x + 3)
- = x³ + 2x² - 23x - 60 + (x + 3)
- = х³ + 2x² - 22x - 57

Стъпка 5. Създайте нова и опростена дроб от новооткрития числител и знаменател

След като умножите дробата по (KPK)/(KPK) и я опростите чрез комбиниране на числата, резултатът е проста дроб, която не съдържа дробно число. Обърнете внимание, че умножавайки по LCM на дробното число в оригиналната сложна дроб, знаменателят на тази дроб ще бъде изчерпан и ще остави променливия номер и цялото число в числителя и знаменателя на отговора, без никакви дроби.

С числителя и знаменателя, намерени по -горе, можем да конструираме дроб, която е същата като оригиналната сложна дроб, но не съдържа дробното число. Полученият числител е x³ - 12 пъти² + 6x + 145 и знаменателят, който получихме, беше x³ + 2x² - 22x - 57, така че новата дроб става (х³ - 12 пъти² + 6x + 145)/(x³ + 2x² - 22x - 57)

Съвети

Покажете всяка стъпка от работата. Дробите могат да бъдат объркващи, ако стъпките се броят твърде бързо или се опитвате да го направите наизуст.
Намерете примери за сложни дроби в интернет или в книги. Следвайте всяка стъпка, докато не бъде овладяна.