Скоростта се определя като скоростта на обект в определена посока. В много ситуации, за да намерим скорост, можем да използваме уравнението v = s/t, където v е равно на скоростта, s е равно на общото разстояние, което обектът е преместил от първоначалното си положение, а t е равно на времето. Този метод обаче дава само "средната" стойност на скоростта на обекта при изместването му. С помощта на смятане можете да изчислите скоростта на обект във всяка точка по неговото изместване. Тази стойност се нарича "моментална скорост" и може да бъде изчислена чрез уравнението v = (ds)/(dt), или, с други думи, е производната на уравнението за средната скорост на обекта.
Стъпка
Метод 1 от 3: Изчисляване на моментната скорост
Стъпка 1. Започнете с уравнението за скоростта на изместване на обекта
За да получим стойността на моментната скорост на обект, първо трябва да имаме уравнение, което описва неговото положение (от гледна точка на изместването му) в даден момент от време. Това означава, че уравнението трябва да има променлива с (който стои сам) от едната страна и T от друга страна (но не непременно самостоятелно), по следния начин:
s = -1,5t2+10t+4
-
В уравнението променливите са:
-
-
Изместване = s. Това е разстоянието, изминато от обекта от неговата начална точка. Например, ако обект пътува 10 метра напред и 7 метра назад, тогава общото изминато разстояние е 10 - 7 = 3 метра (не 10 + 7 = 17 метра).
-
Време = t. Тази променлива е обяснима от само себе си. Обикновено се изразява в секунди. # Вземете производната на уравнението. Производната на уравнение е друго уравнение, което може да даде стойност на наклона от определена точка. За да намерите производната на формулата за изместване на обект, извлечете функцията, като използвате следното общо правило: Ако y = a*x, Производна = a*n*xn-1. Това правило се прилага за всеки компонент, който е от "t" страната на уравнението.
Изчислете мигновената скорост Стъпка 2
-
-
- С други думи, започнете, като спускате "t" страната на уравнението отляво надясно. Всеки път, когато достигнете стойността "t", извадете 1 от стойността на показателя и умножете цялото по оригиналния показател. Всички константи (променливи, които не съдържат "t") ще бъдат загубени, защото се умножават по 0. Този процес не е толкова труден, колкото може да се мисли, нека извлечем уравнението в горната стъпка като пример:
s = -1,5t2+10t+4
(2) -1,5т(2-1)+ (1) 10т1 - 1 + (0) 4т0
-3т1 + 10т0
- 3t + 10
Стъпка 2. Заменете променливата „s“с „ds/dt
"За да покажете, че новото ви уравнение е производно на предишното уравнение, заменете" s "с" ds/dt ". Технически тази нотация означава" производна на s по отношение на t. "По -прост начин да разберете това е, че ds /dt е стойността на наклона (наклона) във всяка точка на първото уравнение, например за определяне на наклона на линия, изтеглена от уравнението s = -1,5t2 + 10t + 4 при t = 5, можем да включим стойността "5" в уравнението на производната.
- В използвания пример първото уравнение на производната вече ще изглежда така:
ds/sec = -3t + 10
Стъпка 3. Включете стойността на t в новото уравнение, за да получите стойността на моментната скорост
Сега, когато имате уравнението на производната, е лесно да намерите моменталната скорост във всяка точка. Всичко, което трябва да направите, е да изберете стойност за t и да я включите във вашето производно уравнение. Например, ако искате да намерите моментната скорост при t = 5, можете да замените стойността на t с "5" в уравнението на производната ds/dt = -3 + 10. След това решете уравнението така:
ds/sec = -3t + 10
ds/sec = -3 (5) + 10
ds/sec = -15 + 10 = - 5 метра в секунда
Обърнете внимание, че единицата, използвана по -горе, е "метър/секунда". Тъй като това, което изчисляваме, е изместване в метри и време в секунди (секунди) и скоростта като цяло е изместване за определено време, тази единица е подходяща за използване
Метод 2 от 3: Графично оценяване на моментната скорост
Стъпка 1. Начертайте графика на изместването на обекта във времето
В горния раздел производната се споменава като формулата за намиране на наклона в дадена точка за уравнението, което извеждате. Всъщност, ако представите изместването на обект като линия на графика, „наклонът на линията във всички точки е равен на стойността на моменталната му скорост в тази точка“.
- За да опишете изместването на обект, използвайте x за представяне на времето и y за преместване. След това начертайте точките, като включите стойността на t във вашето уравнение, като по този начин получите стойността на s за вашата графика, маркирайте t, s в графиката като (x, y).
- Обърнете внимание, че вашата графика може да се простира под оста x. Ако линията, представляваща движението на вашия обект, достига под оста x, това означава, че обектът се е преместил назад от първоначалното си положение. Като цяло вашата графика няма да достигне задната част на оста y - защото не измерваме скоростта на обект, който се движи покрай!
Стъпка 2. Изберете съседна точка P и Q в реда
За да получим наклона на линията в точка P, можем да използваме трик, наречен „вземане на лимита“. Поемането на границата включва две точки (P и Q, точка наблизо) на извитата линия и намиране на наклона на линията чрез свързването им много пъти, докато разстоянията P и Q се доближат.
Да предположим, че линията на изместване на обекта съдържа стойностите (1, 3) и (4, 7). В този случай, ако искаме да намерим наклона в точката (1, 3), можем да определим (1, 3) = P и (4, 7) = Q.
Стъпка 3. Намерете наклона между P и Q
Наклонът между P и Q е разликата в стойностите на y за P и Q по разликата в стойността на оста x за P и Q. С други думи, H = (yВ - уP)/(хВ - хP), където H е наклонът между двете точки. В нашия пример стойността на наклона между P и Q е
H = (yВ- уP)/(хВ- хP)
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1.33
Стъпка 4. Повторете няколко пъти, премествайки Q по -близо до P
Вашата цел е да намалите разстоянието между P и Q, за да прилича на точка. Колкото по -близо е разстоянието между P и Q, толкова по -близо е наклонът на линията в точка P. Направете това няколко пъти с уравнението, използвано като пример, като използвате точки (2, 4.8), (1.5, 3.95) и (1.25, 3.49) като Q и началната точка (1, 3) като P:
Q = (2, 4.8):
H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
H = (1.8)/(1) = 1.8
Q = (1,5, 3,95):
H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
H = (.95)/(. 5) = 1.9
Q = (1,25, 3,49):
H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
H = (.49)/(. 25) = 1.96
Стъпка 5. Оценете наклона на линията за много малко разстояние
С приближаването на Q до P, H се доближава все по -близо до стойността на наклона на точката P. В крайна сметка, когато достигне много малка стойност, H се равнява на наклона на P. Тъй като не можем да измерваме или изчисляваме много малки разстояния, можем да оценим наклона на P само след като е ясно от точката, която се опитваме.
- В примера, когато се приближаваме Q по -близо до P, получаваме стойности от 1,8, 1,9 и 1,96 за H. Тъй като тези числа са близки до 2, можем да кажем, че 2 е приблизителният наклон на P.
- Не забравяйте, че наклонът във всяка дадена точка на линията е равен на производната на уравнението на линията. Тъй като използваната линия показва изместването на обект с течение на времето и тъй като както видяхме в предишния раздел, моментната скорост на обекта е производна на изместването му в дадена точка, можем също така да заявим, че „2 метра/секунда "е приблизителната стойност на моментната скорост при t = 1.
Метод 3 от 3: Примерни въпроси
Стъпка 1. Намерете стойността на моментната скорост при t = 4, от уравнението за изместване s = 5t3 - 3т2 +2t+9.
Този проблем е същият като примера в първата част, с изключение на това, че това уравнение е уравнение на куб, а не степенно уравнение, така че можем да решим този проблем по същия начин.
- Първо вземаме производната на уравнението:
- След това въведете стойността на t (4):
s = 5t3- 3т2+2t+9
s = (3) 5t(3 - 1) - (2) 3т(2 - 1) + (1) 2т(1 - 1) + (0) 9т0 - 1
15т(2) - 6т(1) + 2т(0)
15т(2) - 6t + 2
s = 15t(2)- 6t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 метра в секунда
Стъпка 2. Използвайте графична оценка, за да намерите моментната скорост при (1, 3) за уравнението на изместване s = 4t2 - T.
За този проблем ще използваме (1, 3) като точка P, но трябва да определим друга точка, съседна на тази точка, като точка Q. След това просто трябва да определим стойността на H и да направим оценка.
- Първо, първо намерете стойността на Q при t = 2, 1.5, 1.1 и 1.01.
- След това определете стойността на H:
- Тъй като стойността на H е много близка до 7, можем да заявим това 7 метра в секунда е приблизителната моментна скорост при (1, 3).
s = 4t2- T
t = 2:
s = 4 (2)2- (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, така че Q = (2, 14)
t = 1,5:
s = 4 (1,5)2 - (1.5)
4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, така че Q = (1,5, 7,5)
t = 1,1:
s = 4 (1.1)2 - (1.1)
4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, така че Q = (1.1, 3.74)
t = 1,01:
s = 4 (1,01)2 - (1.01)
4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, така че Q = (1.01, 3.0704)
Q = (2, 14):
H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) =
Стъпка 11.
Q = (1,5, 7,5):
H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)
H = (4.5)/(. 5) =
Стъпка 9.
Q = (1.1, 3.74):
H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)
H = (.74)/(. 1) = 7.3
Q = (1.01, 3.0704):
H = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)
H = (.0704)/(. 01) = 7.04
Съвети
- За да намерите стойността на ускорението (промяна в скоростта с течение на времето), използвайте метода в първия раздел, за да получите уравнението за производната на функцията за изместване. След това създайте отново полученото уравнение, този път от полученото уравнение. Това ще ви даде уравнението за намиране на ускорението във всеки даден момент, всичко, което трябва да направите, е да въведете стойността на времето си.
- Уравнението, свързващо стойността на Y (изместване) с X (време), може да бъде много просто, например Y = 6x + 3. В този случай стойността на наклона е постоянна и няма нужда да се намира производната, за да се изчисли, където според уравнението на права линия Y = mx + b ще бъде равно на 6.
- Преместването е подобно на разстоянието, но има посока, така че изместването е векторно количество, докато разстоянието е скаларно количество. Стойността на изместване може да бъде отрицателна, но разстоянието винаги ще бъде положително.
