В изчислението, когато имате уравнение за y, написано под формата x (напр. Y = x2 -3x), лесно е да се използват основни техники за извеждане (наричани от математиците като техники за имплицитна производна функция) за намиране на производната. Въпреки това, за уравнения, които са трудни за изграждане само с y -член от едната страна на знака за равенство (напр. X2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19), е необходим различен подход. С техника, наречена производни на имплицитни функции, е лесно да се намерят производни на уравнения с много променливи, стига да знаете основите на експлицитни производни на функции!
Стъпка
Метод 1 от 2: Бързо извеждане на прости уравнения
Стъпка 1. Изведете x термините както обикновено
Когато се опитвате да извлечете многопроменливо уравнение като x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19, може да е трудно да се знае откъде да започне. За щастие първата стъпка от производната на неявна функция е най -лесната. Просто извлечете x-членове и константи от двете страни на уравнението според правилата на обикновените (изрични) производни за начало. Игнорирайте y-термините засега.
-
Нека се опитаме да извлечем пример за простото уравнение по -горе. х2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19 има два члена x: x2 и -5x. Ако искаме да извлечем уравнение, първо трябва да направим това, така:
-
-
х2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19
- (Намалете степента на 2 в x2 като коефициент, премахнете x в -5x и променете 19 на 0)
- 2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0
-
-
Стъпка 2. Изведете y термините и добавете (dy/dx) до всеки термин
За следващата си стъпка просто извлечете y термините по същия начин, по който сте извлекли x термините. Този път обаче добавете (dy/dx) до всеки термин, както бихте добавили коефициенти. Например, ако намалите y2, тогава производната става 2y (dy/dx). Игнорирайте термините, които имат x и y засега.
-
В нашия пример нашето уравнение сега изглежда така: 2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0. Ще извършим следващата стъпка за извеждане на y, както следва:
-
-
2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0
- (Намалете степента на 2 в y2 като коефициенти, премахнете y в 8y и поставете dy/dx до всеки член).
- 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy2= 0
-
-
Стъпка 3. Използвайте правилото на продукта или правилото на коефициента за термини с x и y
Работата с термини с x и y е малко сложна, но ако знаете правилата за продукта и коефициента за деривати, ще ви бъде лесно. Ако термините x и y се умножат, използвайте правилото за продукта ((f × g) '= f' × g + g × f '), замествайки x -член за f и y -член за g. От друга страна, ако термините x и y се изключват взаимно, използвайте коефициента правило ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/g2), замествайки числителя за f и знаменателя за g.
-
В нашия пример 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy2 = 0, имаме само един член, който има x и y - 2xy2. Тъй като x и y се умножават помежду си, ще използваме правилото за произведението, за да изведем следното:
-
- 2xy2 = (2x) (y2)- задайте 2x = f и y2 = g в (f × g) '= f' × g + g × f '
- (f × g) '= (2x)' × (y2) + (2x) × (y2)'
- (f × g) '= (2) × (y2) + (2x) × (2y (dy/dx))
- (f × g) '= 2г2 + 4xy (dy/dx)
-
- Като добавим това към нашето основно уравнение, получаваме 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y2 + 4xy (dy/dx) = 0
Стъпка 4. Сам (dy/dx)
Почти сте готови! Сега всичко, което трябва да направите, е да решите уравнението (dy/dx). Това изглежда трудно, но обикновено не е - не забравяйте, че всеки два члена a и b се умножават по (dy/dx) могат да бъдат записани като (a + b) (dy/dx) поради разпределителното свойство на умножение. Тази тактика може да улесни изолирането (dy/dx) - просто преместете всички останали термини от другата страна на скобите, след което разделете на термините в скобите до (dy/dx).
-
В нашия пример опростяваме 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y2 + 4xy (dy/dx) = 0, както следва:
-
- 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y2 + 4xy (dy/dx) = 0
- (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2y2 = 0
- (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2y2 - 2x + 5
- (dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)
- (dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)
-
Метод 2 от 2: Използване на усъвършенствани техники
Стъпка 1. Въведете стойността (x, y), за да намерите (dy/dx) за всяка точка
Безопасно! Вече сте извели уравнението имплицитно - не е лесна работа от първия опит! Използването на това уравнение за намиране на градиента (dy/dx) за всяка точка (x, y) е толкова лесно, колкото включването на стойностите x и y за вашата точка от дясната страна на уравнението, след което намирането (dy/dx).
-
Да предположим например, че искаме да намерим градиента в точката (3, -4) за нашето примерно уравнение по -горе. За да направим това, ще заменим 3 с x и -4 с y, решавайки следното:
-
- (dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)
- (dy/dx) = (-2 (-4)2 - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)
- (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4))
- (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12))
- (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12))
- (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, или 0, 6875.
-
Стъпка 2. Използвайте правилото на веригата за функции във функции
Правилото на веригата е важна част от знанията, които трябва да имате, когато работите върху задачи за смятане (включително проблеми с неявни производни на функции). Правилото на веригата гласи, че за функция F (x), която може да бъде записана като (f o ж) (x), производната на F (x) е равна на f '(g (x)) g' (x). За трудни имплицитни задачи за производни на функции, това означава, че е възможно да се изведат различните отделни части на уравнението и след това да се комбинират резултатите.
-
Като прост пример, да предположим, че трябва да намерим производната на sin (3x2 + x) като част от по -голямата задача за производна неявна функция за уравнението sin (3x2 + x) + y3 = 0. Ако си представим греха (3x2 + x) като f (x) и 3x2 + x като g (x), можем да намерим производната, както следва:
-
- f '(g (x)) g' (x)
- (грех (3x2 + x)) '× (3x2 +x) '
- cos (3x2 + x) × (6x + 1)
- (6x + 1) cos (3x2 +x)
-
Стъпка 3. За уравнения с променливите x, y и z намерете (dz/dx) и (dz/dy)
Макар и необичайни за основното смятане, някои усъвършенствани приложения може да изискват извеждането на неявни функции на повече от две променливи. За всяка допълнителна променлива трябва да намерите нейната допълнителна производна по отношение на x. Например, ако имате x, y и z, трябва да търсите и двете (dz/dy) и (dz/dx). Можем да направим това, като изведем уравнението по отношение на x два пъти - първо, ние ще въвеждаме (dz/dx) всеки път, когато извеждаме термин, съдържащ z, и второ, ще вмъкваме (dz/dy) всеки път, когато извличаме z. След това е само въпрос на разрешаване (dz/dx) и (dz/dy).
- Например, да речем, че се опитваме да изведем x3z2 - 5кси5z = x2 + y3.
-
Първо, нека изведем срещу x и да въведем (dz/dx). Не забравяйте да приложите правилото за продукта, ако е необходимо!
-
- х3z2 - 5кси5z = x2 + y3
- 3x2z2 + 2x3z (dz/dx) - 5y5z - 5xy5(dz/dx) = 2x
- 3x2z2 + (2x3z - 5xy5) (dz/dx) - 5y5z = 2x
- (2x3z - 5xy5) (dz/dx) = 2x - 3x2z2 + 5г5z
- (dz/dx) = (2x - 3x2z2 + 5г5z)/(2x3z - 5xy5)
-
-
Сега направете същото за (dz/dy)
-
- х3z2 - 5кси5z = x2 + y3
- 2x3z (dz/dy) - 25xy4z - 5xy5(dz/dy) = 3y2
- (2x3z - 5xy5) (dz/dy) = 3y2 + 25кси4z
- (dz/dy) = (3y2 + 25кси4z)/(2x3z - 5xy5)
-
