Как да намерите домейн и обхват от функции: 14 стъпки (със снимки)

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Последно модифициран: 2023-12-16 10:56

Всяка функция има две променливи, а именно независимата и зависимата променлива. Буквално стойността на зависимата променлива "зависи" от независимата променлива. Например във функцията y = f (x) = 2 x + y, x е независимата променлива и y е зависимата променлива (с други думи, y е функция на x). Валидните стойности за известната променлива x се наричат „домейни на произход“. Валидните стойности за известната променлива y се наричат „диапазон на резултатите“.

Стъпка

Част 1 от 3: Намиране на домейна на функция

Стъпка 1. Решете какъв тип функция ще изпълнявате

Домейнът на функцията е всички x-стойности (хоризонтална ос), които ще връщат валидни y-стойности. Уравнението на функцията може да бъде квадратно, дроб или да съдържа корен. За да изчислите областта на функцията, първото нещо, което трябва да направите, е да проучите променливите в уравнението.

• Квадратичната функция има формата ax² + bx + c: f (x) = 2x² + 3x + 4
• Примерите за функции с дроби включват: f (x) = (¹/_х), f (x) = ^(x+1)/_{(x - 1)}, и други.
• Функциите, които имат корени, включват: f (x) = x, f (x) = (x² + 1), f (x) = -x и т.н.

Стъпка 2. Запишете домейна с подходяща нотация

Записването на домейна на функция включва използването на квадратни скоби [,], както и скоби (,). Използвайте квадратни скоби [,], ако числото принадлежи на домейна, и използвайте скоби (,), ако домейнът не включва номера. Буквата U означава обединение, което свързва части от домейна, които могат да бъдат разделени с разстояние.

• Например, домейнът на [-2, 10) U (10, 2] включва -2 и 2, но не включва числото 10.
• Винаги използвайте скоби (), ако използвате символа за безкрайност,.

Стъпка 3. Начертайте графика на квадратното уравнение

Квадратичните уравнения създават параболична графика, която се отваря нагоре или надолу. Като се има предвид, че параболата ще продължи безкрайност по оста x, областта на повечето квадратни уравнения са всички реални числа. Казано по друг начин, квадратното уравнение включва всички x-стойности на числовата линия, даваща домейна R (символ за всички реални числа).

• За да разрешите функцията, изберете произволна x-стойност и я въведете във функцията. Решаването на функция със стойност x ще върне стойност y. Стойностите на x и y са (x, y) координатите на графика на функцията.
• Начертайте тези координати на графика и повторете процеса с друга x-стойност.
• Начертаването на някои от стойностите в този модел ще ви даде преглед на формата на квадратната функция.

Стъпка 4. Ако уравнението на функцията е дроб, направете знаменателя равен на нула

Когато работите с дроби, никога не можете да делите на нула. Като направите знаменателя равен на нула и намерите стойността на x, можете да изчислите стойностите, които да извлечете от функцията.

• Например: Определете домейна на функцията f (x) = ^(x+1)/_{(x - 1)}.
• Знаменателят на функцията е (x - 1).
• Направете знаменателя равен на нула и изчислете стойността на x: x - 1 = 0, x = 1.
• Запишете домейна: Домейнът на функцията не включва 1, но включва всички реални числа с изключение на 1; следователно домейнът е (-∞, 1) U (1,).
• (-∞, 1) U (1,) може да се чете като съвкупност от всички реални числа с изключение на 1. Символът за безкрайност,, представлява всички реални числа. В този случай всички реални числа, по -големи от 1 и по -малки от 1, са включени в домейна.

Стъпка 5. Ако уравнението е коренова функция, направете коренните променливи по -големи или равни на нула

Не можете да използвате квадратния корен от отрицателно число; следователно, всяка x-стойност, която води до отрицателно число, трябва да бъде премахната от домейна на функцията.

• Например: Намерете областта на функцията f (x) = (x + 3).
• Променливите в корена са (x + 3).
• Направете стойността по -голяма или равна на нула: (x + 3) 0.
• Изчислете стойността за x: x -3. Решете за x: x -3.
• Областта на функцията включва всички реални числа, по -големи или равни на -3; следователно домейнът е [-3,).

Част 2 от 3: Намиране на обхвата на квадратно уравнение

Стъпка 1. Уверете се, че имате квадратна функция

Квадратната функция има формата ax² + bx + c: f (x) = 2x² + 3x + 4. Графиката на квадратната функция е парабола, която се отваря нагоре или надолу. Има различни начини за изчисляване на обхвата на функцията в зависимост от типа функция, върху която работите.

Най -лесният начин да определите обхвата на други функции, като например коренна функция или функция с дроб, е да начертаете функцията с помощта на графичен калкулатор

Стъпка 2. Намерете x-стойността на върха на функцията

Върхът на квадратна функция е върхът на параболата. Не забравяйте, че формата на квадратната функция е ax² + bx + c. За да намерите координатата x, използвайте уравнението x = -b/2a. Уравнението е производно на основна квадратна функция, която представлява уравнение с нулев наклон/наклон (във върха на графиката градиентът на функцията е нула).

• Например, намерете диапазона 3x² + 6x -2.
• Изчислете x -координатата на върха: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1

Стъпка 3. Изчислете y-стойността на върха на функцията

Включете x-координатата във функцията, за да изчислите съответната y-стойност на върха. Тази y-стойност показва границата на обхвата на функцията.

• Изчислете y-координатата: y = 3x² + 6x-2 = 3 (-1)² + 6(-1) -2 = -5.
• Върхът на тази функция е (-1, -5).

Стъпка 4. Определете посоката на параболата, като включите поне още една x-стойност

Изберете друга x-стойност и я включете във функцията, за да изчислите подходящата y-стойност. Ако y-стойността е над върха, параболата продължава към +∞. Ако y -стойността е под върха, параболата ще продължи към -∞.

• Използвайте x -стойност -2: y = 3x² + 6x-2 = y = 3 (-2)² + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
• Това изчисление връща координатите (-2, -2).
• Тези координати ви показват, че параболата продължава над върха (-1, -5); следователно диапазонът включва всички y -стойности, по -високи от -5.
• Обхватът на тази функция е [-5,).

Стъпка 5. Запишете диапазона с подходяща нотация

Подобно на домейните, диапазоните се изписват със същата нотация. Използвайте квадратни скоби [,], ако числото е в диапазона, и използвайте скоби (,), ако диапазонът не включва номера. Буквата U показва обединение, което свързва части от обхвата, които могат да бъдат разделени с разстояние.

• Например диапазонът от [-2, 10) U (10, 2] включва -2 и 2, но не включва числото 10.
• Винаги използвайте скоби, ако използвате символа за безкрайност,.

Част 3 от 3: Намиране на обхвата от графиката на функция

Стъпка 1. Начертайте функцията

Често най -лесният начин да определите обхвата на функция е да я начертаете. Много коренови функции имат обхват (-∞, 0] или [0, +∞), тъй като върхът на хоризонталната парабола (странична парабола) е върху хоризонталната ос x. В този случай функцията включва всички положителни y-стойности, ако параболата се отваря, или всички отрицателни y-стойности, ако параболата се отваря надолу. Фракционните функции ще имат асимптоти (линии, които никога не се изрязват с права линия / крива, но се приближават до безкрайност), които определят обхвата на функцията.

• Някои коренови функции ще стартират над или под оста x. В този случай диапазонът се определя от номера, от който стартира функцията root. Ако параболата започва от y = -4 и се издига, тогава диапазонът е [-4, +∞).
• Най -лесният начин да нарисувате функция е да използвате графична програма или графичен калкулатор.
• Ако нямате графичен калкулатор, можете да нарисувате груба скица на графиката, като включите x-стойността във функцията и получите съответната y-стойност. Начертайте тези координати на графика, за да добиете представа как изглежда графиката.

Стъпка 2. Намерете минималната стойност на функцията

Веднага след изчертаването на функцията трябва да можете ясно да видите най -ниската точка на графиката. Ако няма ясна минимална стойност, знайте, че някои функции ще продължат при -∞ (безкрайност).

Функцията за дроби ще включва всички точки с изключение на тези на асимптотите. Функцията има диапазон като (-∞, 6) U (6,)

Стъпка 3. Определете максималната стойност на функцията

Отново, след начертаване на графиката, трябва да можете да идентифицирате максималната точка на функцията. Някои функции ще продължат при +∞ и следователно няма да имат минимална стойност.

Стъпка 4. Напишете диапазона с подходяща нотация

Подобно на домейните, диапазоните се изписват със същата нотация. Използвайте квадратни скоби [,], ако числото е в диапазона, и използвайте скоби (,), ако диапазонът не включва номера. Буквата U показва обединение, което свързва части от обхвата, които могат да бъдат разделени с разстояние.

• Например диапазонът от [-2, 10) U (10, 2] включва -2 и 2, но не включва числото 10.
• Винаги използвайте скоби, ако използвате символа за безкрайност,.