Попълването на квадрати е полезна техника, която да ви помогне да поставите квадратните уравнения в чиста форма, което ги прави лесни за разглеждане или дори решаване. Можете да попълвате квадрати, за да изграждате по -сложни квадратни формули или дори да решавате квадратни уравнения. Ако искате да знаете как да го направите, следвайте тези стъпки.
Стъпка
Част 1 от 2: Преобразуване на обикновени уравнения в квадратни функции
Стъпка 1. Запишете уравнението
Да предположим, че искате да решите следното уравнение: 3x2 - 4x + 5.
Стъпка 2. Извадете коефициентите на квадратните променливи от първите две части
За да извадите числото 3 от първите две части, просто извадете числото 3 и го поставете извън скобите, разделяйки всяка част на 3. 3x2 разделено на 3 е х2 и 4x разделено на 3 е 4/3x. И така, новото уравнение става: 3 (x2 - 4/3x) + 5. Числото 5 остава извън уравнението, защото не е разделено на числото 3.
Стъпка 3. Разделете втората част на 2 и я квадрат
Втората част или това, което е известно като b в уравнението е 4/3. Разделете на две. 4/3 2 или 4/3 x 1/2 е равно на 2/3. Сега поставете този квадрат в квадрат, като поставите на квадрат числителя и знаменателя на дробата. (2/3)2 = 4/9. Да го напишеш.
Стъпка 4. Добавете и извадете тези части от уравнението
Тази допълнителна част ще ви е необходима, за да върнете уравнението в перфектен квадрат. Трябва обаче да ги извадите от останалата част на уравнението, за да ги добавите. Въпреки че изглежда се връщате към първоначалното си уравнение. Вашето уравнение изглежда така: 3 (x2 - 4/3 x + 4/9 - 4/9) + 5.
Стъпка 5. Извадете частта, която сте извадили от скобите
Тъй като имате коефициент 3 извън скобите, не можете просто да изведете -4/9. Първо трябва да го умножите по 3. -4/9 x 3 = -12/9 или -4/3. Ако имате коефициент 1 в секцията x2, тогава можете да пропуснете тази стъпка.
Стъпка 6. Променете частта в скобите на перфектен квадрат
Сега има 3 (x2 -4/3x +4/9) в скоби. Вече сте се опитали да получите 4/9, което всъщност е друг начин да завършите квадрата. Така че можете да го пренапишете като: 3 (x - 2/3)2. Всичко, което трябва да направите, е да разделите втората половина и да премахнете третата. Можете да проверите работата си, като я умножите и излезете с първите три части от уравнението.
-
3 (x - 2/3)2 =
Попълнете квадратната стъпка 6 Bullet1 - 3 (x - 2/3) (x -2/3) =
- 3 [(х2 -2/3x -2/3x + 4/9)]
- 3 (х2 - 4/3x + 4/9)
Стъпка 7. Комбинирайте константи
Сега има две константи или числа, които нямат променливи. Сега имате 3 (x - 2/3)2 - 4/3 + 5. Всичко, което трябва да направите, е да добавите -4/3 и 5, за да получите 11/3. Добавяте ги, като приравнявате знаменателите: -4/3 и 15/3, след което добавяте числата, така че да получите 11 и оставяте знаменателя 3.
-
-4/3 + 15/3 = 11/3.
Попълнете квадратната стъпка 7 Bullet1
Стъпка 8. Напишете уравнението в квадратна форма
Ти направи. Крайното уравнение е 3 (x - 2/3)2 +11/3. Можете да премахнете коефициента 3, като разделите двете страни на уравнението, за да получите (x - 2/3)2 +11/9. Успешно сте написали уравнението в квадратна форма, а именно a (x - h)2 +k, където k представлява константа.
Част 2 от 2: Решаване на квадратни уравнения
Стъпка 1. Запишете въпросите
Да предположим, че искате да решите следното уравнение: 3x2 + 4x + 5 = 6
Стъпка 2. Комбинирайте съществуващите константи и ги поставете от лявата страна на уравнението
Константа е всяко число, което няма променлива. В този проблем константата е 5 вляво и 6 вдясно. Ако искате да преместите 6 наляво, трябва да извадите двете страни на уравнението с 6. Остатъкът е 0 от дясната страна (6-6) и -1 от лявата страна (5-6). Уравнението става: 3x2 + 4x - 1 = 0.
Стъпка 3. Изведете коефициента на квадратната променлива
В този проблем 3 е коефициентът на x2. За да получите числото 3, просто извадете числото 3 и разделете всяка част на 3. И така, 3x2 3 = х2, 4x 3 = 4/3x и 1 3 = 1/3. Уравнението става: 3 (x2 + 4/3x - 1/3) = 0.
Стъпка 4. Разделете на константата, която току -що извлечете
Това означава, че можете да премахнете коефициента 3. Тъй като вече сте разделили всяка част на 3, можете да премахнете числото 3, без да повлияете на уравнението. Вашето уравнение става x2 + 4/3x - 1/3 = 0
Стъпка 5. Разделете втората част на 2 и я квадрат
След това вземете втората част, 4/3 или част b, и я разделете на 2. 4/3 2 или 4/3 x 1/2, е равно на 4/6 или 2/3. И 2/3 на квадрат до 4/9. След като го на квадрат, ще трябва да го напишете от лявата и дясната страна на уравнението, защото добавяте нова част. Трябва да го напишете от двете страни, за да го балансирате. Уравнението става x2 + 4/3 x + 2/32 - 1/3 = 2/32
Стъпка 6. Преместете началната константа в дясната страна на уравнението и я добавете към квадрата на вашето число
Преместете началната константа, -1/3, надясно, като я направите 1/3. Добавете квадрата на вашето число, 4/9 или 2/32. Намерете общ знаменател, за да добавите 1/3 и 4/9, като умножите горната и долната част на 1/3 по 3. 1/3 x 3/3 = 3/9. Сега добавете 3/9 и 4/9, за да получите 7/9 от дясната страна на уравнението. Уравнението става: x2 + 4/3 x + 2/32 = 4/9 + 1/3, след това x2 + 4/3 x + 2/32 = 7/9.
Стъпка 7. Запишете лявата страна на уравнението като перфектен квадрат
Тъй като вече сте използвали формулата, за да намерите липсващото парче, твърдата част е пропусната. Всичко, което трябва да направите, е да поставите x и половината от стойността на втория коефициент в скоби и да го квадрат, например: (x + 2/3)2. Имайте предвид, че факторингът на перфектен квадрат ще даде три части: x2 + 4/3 x + 4/9. Уравнението става: (x + 2/3)2 = 7/9.
Стъпка 8. Квадратен корен от двете страни
От лявата страна на уравнението квадратният корен на (x + 2/3)2 е x + 2/3. От дясната страна на уравнението ще получите +/- (√7)/3. Квадратният корен от знаменателя 9 е 3, а квадратният корен от 7 е 7. Не забравяйте да напишете +/-, защото квадратният корен може да бъде положителен или отрицателен.
Стъпка 9. Преместете променливите
За да преместите променливата x, просто преместете константата 2/3 в дясната страна на уравнението. Сега имате два възможни отговора за x: +/- (√7)/3 - 2/3. Това са двата ви отговора. Можете да го оставите на мира или да намерите стойността на квадратния корен от 7, ако трябва да напишете отговор без квадратен корен.
Съвети
- Не забравяйте да напишете +/- на подходящото място, в противен случай ще получите само един отговор.
- Дори след като знаете квадратната формула, практикувайте редовното попълване на квадрата, като доказвате квадратната формула или решавате някои проблеми. По този начин няма да забравите метода, когато имате нужда от него.
