Всички правилни триъгълници имат един прав ъгъл (90 градуса), а хипотенузата е страната, противоположна на този ъгъл. Хипотенузата е най -дългата страна на триъгълника и също така е много лесно да се намери по няколко различни начина. Тази статия ще ви научи как да намерите дължината на хипотенузата с помощта на Питагоровата теорема, ако знаете дължините на другите две страни на триъгълника. След това тази статия ще ви научи как да идентифицирате хипотенузата на някои специални правоъгълни триъгълници, които се появяват често на изпитите. И накрая, тази статия ще ви научи как да намерите дължината на хипотенузата, използвайки закона на синуса, ако знаете само дължината на едната страна и измерването на ъгъл, различен от прав ъгъл.
Стъпка
Метод 1 от 3: Използване на Питагоровата теорема
Стъпка 1. Научете Питагоровата теорема
Питагоровата теорема описва връзката между страните на правоъгълен триъгълник. Тази теорема гласи, че за всеки правоъгълен триъгълник със страни по a и b и хипотенуза по c, а2 + б2 = c2.
Стъпка 2. Уверете се, че вашият триъгълник е правоъгълен триъгълник
Питагоровата теорема се прилага само за правоъгълни триъгълници и по дефиниция само десните триъгълници имат хипотенуза. Ако вашият триъгълник има един ъгъл, който е точно 90 градуса, това е правоъгълен триъгълник и можете да продължите.
Правите ъгли често се означават в учебниците и изпитите с малък квадрат в ъгъла на ъгъла. Този конкретен знак означава "90 градуса"
Стъпка 3. Присвойте променливи a, b и c на страните на вашия триъгълник
Променливата "c" винаги ще бъде присвоена на хипотенузата или най -дългата страна. Изберете една от другите страни, за да бъде "a", и извикайте другата страна "b" (няма значение коя страна е a или b; изчислението ще остане същото) След това включете дължините на a и b във формулата, съгласно следния пример:
Ако вашият триъгълник има страни с дължини 3 и 4 и сте присвоили буквите на страните, така че a = 3 и b = 4, ще напишете уравнението си като: 32 + 42 = c2.
Стъпка 4. Намерете квадрата на a и b
За да намерите квадрата на число, просто умножете числото само по себе си, така че а2 = a x a. Намерете квадратите на a и b и ги включете във вашата формула.
- Ако a = 3, a2 = 3 x 3 или 9. Ако b = 4, b2 = 4 x 4 или 16.
- Когато включите тези стойности в уравнението си, вашето уравнение сега трябва да изглежда така: 9 + 16 = c2.
Стъпка 5. Добавете стойностите на a2 и б2.
Включете сумата във вашето уравнение и това ще ви даде стойността на c2. Остава само една стъпка и ще разрешите хипотенузата!
В нашия пример, 9 + 16 = 25, така че ще пишете 25 = c2.
Стъпка 6. Намерете квадратния корен от c2.
Използвайте квадратния корен във вашия калкулатор (или паметта или вашата таблица за умножение), за да намерите квадратния корен от c2. Отговорът е дължината на вашата хипотенуза!
В нашия пример, ° С2 = 25. Квадратният корен от 25 е 5 (5 x 5 = 25, така Корен (25) = 5). Това означава, c = 5, дължината на нашата хипотенуза!
Метод 2 от 3: Намиране на хипотенузата на специален правоъгълен триъгълник
Стъпка 1. Научете се да разпознавате триъгълници с Питагоровата тройка
Дължините на страните на питагорейската тройка са цели числа според Питагоровата теорема. Тези специални триъгълници често се появяват в учебници по геометрия и стандартизирани изпити като ООН. Ако си спомняте особено първите 2 питагорейски тройки, можете да спестите много време на тези тестове, защото бързо ще откриете хипотенузата на един от тези триъгълници само като погледнете страничните дължини!
- Първата питагорейска тройка беше 3-4-5 (32 + 42 = 52, 9 + 16 = 25). Когато видите правоъгълен триъгълник с катети с дължини 3 и 4, веднага ще повярвате, че хипотенузата му е 5, без да се налага да правите изчисления.
-
Питагоровото тройно съотношение е вярно, дори ако страните се умножат по друго число. Например, правоъгълен триъгълник с дължина на крака
Стъпка 6. да
Стъпка 8. ще има хипотенуза
Стъпка 10. (62 + 82 = 102, 36 + 64 = 100). Същото важи и за 9-12-15, и дори 1, 5-2-2, 5. Опитайте изчисленията и се уверете сами!
- Втората питагорейска тройка, която често се появява на изпитите, е 5-12-13 (52 + 122 = 132, 25 + 144 = 169). Обърнете внимание и на множествата като 10-24-26 и 2, 5-6-6, 5.
Стъпка 2. Запомнете съотношението на страните на правоъгълен триъгълник 45-45-90
Правоъгълният триъгълник 45-45-90 има ъгли 45, 45 и 90 градуса и се нарича също равнобедрен правоъгълен триъгълник. Този триъгълник се появява често в стандартизирани изпити и е много лесен за разрешаване триъгълник. Съотношението на страните на този триъгълник е 1: 1: Корен (2), което означава, че дължините на краката са еднакви, а дължината на хипотенузата е просто дължината на краката, умножена по квадратния корен от две.
- За да изчислите хипотенузата на този триъгълник въз основа на дължината на един от краката му, просто умножете дължината на крака по Sqrt (2).
- Познаването на тези сравнения е полезно, особено когато вашите изпитни или домашни въпроси дават страничните дължини като променливи вместо цели числа.
Стъпка 3. Проучете страничните съотношения на правоъгълен триъгълник 30-60-90
Тези триъгълници имат измервания на ъгъла от 30, 60 и 90 градуса и се появяват, когато разрежете равностранен триъгълник наполовина. Страните на правоъгълен триъгълник 30-60-90 винаги имат съотношение 1: Корен (3): 2, или x: Корен (3) x: 2x. Ако ви беше дадена дължината на един крак на правоъгълен триъгълник 30-60-90 и сте помолени да намерите хипотенузата, този проблем би бил много лесен за изпълнение:
-
Ако ви е дадена дължината на най-късия крак (срещуположно под ъгъл 30 градуса), просто умножете дължината на крака по 2, за да намерите дължината на хипотенузата. Например, ако дължината на най -късия крак е
Стъпка 4., знаете, че дължината на хипотенузата трябва да бъде
Стъпка 8..
-
Ако ви е дадена дължината на по -дългия крак (срещу ъгъл от 60 градуса), умножете тази дължина по 2/Корен (3) за да се намери дължината на хипотенузата. Например, ако дължината на по -дългия крак е
Стъпка 4., знаете, че дължината на определената хипотенуза е 4, 62.
Метод 3 от 3: Намиране на хипотенузата по закона на синуса
Стъпка 1. Разберете значението на „Синус“
Термините "синус", "косинус" и "тангенс" се отнасят до различните съотношения между ъглите и/или страните на правоъгълен триъгълник. синус ъгъл се определя като дължината на страната, противоположна на ъгъла разделена на триъгълна хипотенуза. Съкращението за синус в уравнения и калкулатори е грях.
Стъпка 2. Научете как да изчислявате синус
Дори основните научни калкулатори имат функция синус. Потърсете бутона, на който пише грях. За да намерите синуса на ъгъл, обикновено натискате клавиша грях и след това въведете измерването на ъгъла в градуси. В някои калкулатори обаче първо трябва да въведете измерването на ъгъла и след това да натиснете бутона грях. Ще трябва да експериментирате с вашия калкулатор или да проверите ръководството, за да разберете кой метод да използвате.
- За да намерите синуса на ъгъл от 80 градуса, трябва да влезете грях 80 последвано от знак за равенство или Enter, или 80 грях. (Отговорът е -0, 9939.)
- Можете също да въведете „калкулатор на синусоида“в уеб търсене и да потърсите някои лесни за използване калкулатори, които ще премахнат всякакви предположения.
Стъпка 3. Научете закона на синуса
Законът на синусите е полезен инструмент за решаване на триъгълници. По -специално, този закон може да ви помогне да намерите хипотенузата на правоъгълен триъгълник, ако знаете дължината на едната страна и измерването на един ъгъл, различен от този прав ъгъл. За всеки триъгълник със страни а, б, и ° С, и ъгли А, Б, и ° С, Законът на Синус гласи, че a / sin A = b / sin B = c / sin C.
Законът на синусите всъщност може да се използва за решаване на всеки триъгълник, но само десните триъгълници имат хипотенуза
Стъпка 4. Присвойте променливи a, b и c на страните на вашия триъгълник
Хипотенузата (най -дългата страна) трябва да бъде "c". За удобство маркирайте „a“за страната с известна дължина, а етикет „b“за другата страна. Правият ъгъл срещу хипотенузата е "C". Ъгълът срещу противоположната страна "a" е ъгъл "A", а ъгълът срещу противоположна страна "b" е "B".
Стъпка 5. Изчислете измерването на третия ъгъл
Тъй като това е прав ъгъл, вече го знаем C = 90 градуса, а вие също знаете измерванията А или Б. Тъй като измерването на вътрешната степен на триъгълник винаги е равно на 180 градуса, можете лесно да изчислите измерването на ъглите и на трите, като използвате формулата: 180 - (90 + A) = B. Можете също да обърнете уравнението на 180 - (90 + В) = А.
Например, ако знаете това А = 40 градуса, B = 180 - (90 + 40). Опростете това до В = 180 - 130, и можете бързо да определите това В = 50 градуса.
Стъпка 6. Проверете вашия триъгълник
В тази стъпка вече знаете измерванията на трите ъгъла и дължината на страната a. Сега е време да включите тази информация в уравненията на закона на синуса, за да определите дължините на другите две страни.
За да продължим нашия пример, нека кажем дължината на страната a = 10. Ъгъл C = 90 градуса, ъгъл A = 40 градуса и ъгъл B = 50 градуса
Стъпка 7. Приложете закона на синуса към вашия триъгълник
Просто трябва да включим нашите числа и да решим следното уравнение, за да намерим дължината на хипотенуза c: странична дължина a / sin A = дължина на страната c / sin C. Това уравнение може да изглежда малко страшно, но синусът от 90 градуса винаги е един и същ и винаги е равен на 1! По този начин нашето уравнение може да бъде опростено до: a / sin A = c / 1, или просто a / sin A = c.
Стъпка 8. Разделете дължината на страната a със синуса на ъгъла A, за да намерите дължината на хипотенузата!
Можете да го намерите в две отделни стъпки, първо чрез изчисляване на греха A и записване на резултата, след това разделяне на a. Или можете да въведете всичко в калкулатора едновременно. Ако използвате калкулатор, не забравяйте да поставите скобите след знака за разделяне. Например, въведете 10 / (грех 40) или 10 / (40 греха) в зависимост от вашия калкулатор.
