Рационалното уравнение е дроб с една или повече променливи в числителя или знаменателя. Рационалното уравнение е всяка дроб, която включва поне едно рационално уравнение. Подобно на обикновените алгебрични уравнения, рационалните уравнения се решават чрез извършване на една и съща операция от двете страни на уравнението, докато променливите не могат да бъдат прехвърлени от двете страни на уравнението. Две специални техники, кръстосано умножение и намиране на най -малкия общ знаменател, са много полезни начини за преместване на променливи и решаване на рационални уравнения.
Стъпка
Метод 1 от 2: Кръстосано умножение
Стъпка 1. Ако е необходимо, пренаредете уравнението си, за да получите дроб от едната страна на уравнението
Кръстосаното умножение е бърз и лесен начин за решаване на рационални уравнения. За съжаление, този метод може да се използва само за рационални уравнения, които съдържат поне едно рационално уравнение или дроб от всяка страна на уравнението. Ако вашето уравнение не отговаря на тези изисквания за кръстосани продукти, може да се наложи да използвате алгебрични операции, за да преместите частите на правилните места.
-
Например, уравнението (x + 3)/4-x/(-2) = 0 може лесно да бъде поставено в кръстосана продуктова форма чрез добавяне на x/(-2) към двете страни на уравнението, така че да стане (x + 3)/4 = х/(-2).
Обърнете внимание, че десетичните и цели числа могат да бъдат преобразувани в дроби, като се даде знаменателят 1. (x + 3)/4 - 2, 5 = 5, например, може да се препише като (x + 3)/4 = 7, 5/ 1, което го прави удовлетворяващо условието за кръстосано умножение
- Някои рационални уравнения не могат лесно да бъдат сведени до форма, която има по една дроб или рационално уравнение от всяка страна. В такива случаи използвайте същия подход с най -малък знаменател.
Стъпка 2. Кръстосано умножение
Кръстосано умножение означава умножаване на един от числителите на дроб с знаменателя на друга дроб и обратно. Умножете числителя на дробата вляво с знаменателя на дробата вдясно. Повторете с десния знаменател с левия знаменател.
Кръстосаното умножение работи в съответствие с основните алгебрични принципи. Рационалните уравнения и други дроби могат да се превърнат в не-дроби, като се умножат по знаменателя. Кръстосаният продукт е по същество бърз начин за умножаване на двете страни на уравнението с двата знаменателя. Не вярвайте? Опитайте - ще получите същия резултат, след като го опростите
Стъпка 3. Направете двата продукта равни помежду си
След кръстосано умножение ще получите два резултата от умножението. Направете ги равни една на друга и опростете, за да направите уравнението възможно най -просто.
Например, ако първоначалното ви рационално уравнение е (x+3)/4 = x/(-2), след кръстосано умножение новото ви уравнение става -2 (x+3) = 4x. Ако искате, можете също да го напишете като -2x - 6 = 4x
Стъпка 4. Намерете стойността на вашата променлива
Използвайте алгебрични операции, за да намерите стойността на променливата на вашето уравнение. Не забравяйте, че ако x се появява от двете страни на уравнението, трябва да добавите или извадите x от двете страни на уравнението, за да оставите x само от едната страна на уравнението.
В нашия пример можем да разделим двете страни на уравнението на -2, така че x+3 = -2x. Изваждането на x от двете страни дава 3 = -3x. И накрая, разделяйки двете страни на -3, резултатът става -1 = x, което може да бъде записано като x = -1. Открихме стойността на x, решавайки нашето рационално уравнение
Метод 2 от 2: Намиране на най -малкия общ знаменател
Стъпка 1. Знайте точното време за използване на същия най -малък знаменател
Същият най -малък знаменател може да се използва за опростяване на рационалните уравнения, което ги прави търсещи за променливи стойности. Намирането на най -малкия общ знаменател е добра идея, ако вашето рационално уравнение не може лесно да се запише чрез една дроб (и само една дроб) от всяка страна на уравнението. За решаване на рационални уравнения с три или повече части е полезен най -малкият общ знаменател. Въпреки това, за да се реши рационално уравнение само с две части, е по -бързо да се използва кръстосан продукт.
Стъпка 2. Проверете знаменателя на всяка дроб
Определете най -малкото число, което всеки знаменател може да раздели, и да произведе цяло число. Това число е най -малкият общ знаменател за вашето уравнение.
- Понякога най -малкият общ знаменател - тоест най -малкото число, което има всички фактори в знаменателя - е ясно видимо. Например, ако вашето уравнение е x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, не е трудно да видите най -малкото число с коефициент 3, 2 и 6, което е числото 6.
- Често обаче най -малкият общ знаменател на рационалното уравнение не се вижда ясно. В такъв случай опитайте да проверите кратни на по -големия знаменател, докато намерите число, което има коефициент на всички останали по -малки знаменатели. Често най -малкият общ знаменател е продуктът на два знаменателя. Например в уравнението x/8 + 2/6 = (x-3)/9, най-малкият общ знаменател е 8*9 = 72.
- Ако един или повече от знаменателите на вашата дроб имат променливи, този процес е по -труден, но възможен. В такъв случай най -малкият общ знаменател е уравнение (с променлива), което се дели на всички останали знаменатели. Например в уравнението 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x), най-малкият общ знаменател е 3x (x-1), защото всеки знаменател може да го раздели-разделянето на (x-1) дава 3x, разделянето на 3x дава (x-1), а разделянето на x дава 3 (x-1).
Стъпка 3. Умножете всяка дроб в рационалното уравнение с 1
Умножаването на всяка част с 1 изглежда безполезно. Но тук е трикът. 1 може да се дефинира като всяко число, което е едно и също и в числителя, и в знаменателя, като -2/2 и 3/3, което е правилният начин да се напише 1. Този метод се възползва от алтернативното определение. Умножете всяка дроб във вашето рационално уравнение с 1, като запишете числото 1, което, умножено по знаменателя, дава най -малкия общ знаменател.
- В нашия основен пример ще умножим x/3 по 2/2, за да получим 2x/6 и умножим 1/2 по 3/3, за да получим 3/6. 2x + 1/6 вече има същия най -малък знаменател, който е 6, така че можем да го умножим по 1/1 или да го оставим на мира.
- В нашия пример с променлива в знаменателя на дробата процесът е малко по -сложен. Тъй като нашият най-малък знаменател е 3x (x-1), ние умножаваме всяко рационално уравнение с нещо, което връща 3x (x-1). Ще умножим 5/(x-1) по (3x)/(3x), което дава 5 (3x)/(3x) (x-1), умножаваме 1/x по 3 (x-1)/3 (x- 1), което дава 3 (x-1)/3x (x-1), а умножаването на 2/(3x) по (x-1)/(x-1) дава 2 (x-1)/3x (x- 1).
Стъпка 4. Опростете и намерете стойността на x
Сега, тъй като всяка част от вашето рационално уравнение има един и същ знаменател, можете да премахнете знаменателя от уравнението си и да решите за числителя. Умножете двете страни на уравнението, за да получите стойността на числителя. След това използвайте алгебрични операции, за да намерите стойността на x (или каквато и да е променлива, която искате да решите) от едната страна на уравнението.
- В нашия основен пример, след като умножим всички части по алтернативната форма 1, получаваме 2x/6 + 3/6 = (3x + 1)/6. Две дроби могат да се добавят, ако имат един и същ знаменател, така че можем да опростим това уравнение до (2x+3)/6 = (3x+1)/6, без да променяме стойността. Умножете двете страни по 6, за да премахнете знаменателя, така че резултатът е 2x+3 = 3x+1. Извадете 1 от двете страни, за да получите 2x+2 = 3x, и извадете 2x от двете страни, за да получите 2 = x, което може да бъде записано като x = 2.
- В нашия пример с променлива в знаменателя нашето уравнение след умножаване по 1 става 5 (3x)/(3x) (x-1) = 3 (x-1)/3x (x-1) + 2 (x-1) /3x (x-1). Умножаването на всички части с един и същ най-малък знаменател, което ни позволява да пропуснем знаменателя, става 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Това важи и за 5x = 3x -3 + 2x -2, което опростява до 15x = x -5. Изваждането на x от двете страни дава 14x = -5, което в крайна сметка опростява до x = -5/14.
Съвети
- Когато решите променливата, проверете отговора си, като включите стойността на променливата в първоначалното уравнение. Ако стойността на променливата ви е правилна, можете да опростите първоначалното си уравнение в просто изявление, което винаги е равно на 1 = 1.
- Имайте предвид, че можете да запишете всеки полином като рационално уравнение; поставете го над знаменателя 1. Така че x+3 и (x+3)/1 имат една и съща стойност, но второто уравнение може да бъде класифицирано като рационално уравнение, защото е записано като дроб.
