Въпреки че понякога може да изглежда обезсърчаващо, проблемът с квадратния корен всъщност не е толкова труден за решаване. Обикновените проблеми с квадратен корен обикновено могат да бъдат решени толкова лесно, колкото основните задачи за умножение и деление. За по -сложни въпроси са необходими малко допълнителни усилия. Но с правилния подход всеки труден проблем може да бъде решен. Чрез тази статия ще ви помогнем да решите проблемите с квадратния корен в няколко лесни стъпки.
Стъпка
Част 1 от 3: Разбиране на квадрати и квадратни корени
Стъпка 1. Квадратът е числото, умножено по самото число
За да разберете квадратния корен, добре е първо да разберете значението на квадрата. Просто казано, квадратът е число, умножено по самото число. Например 3 на квадрат е 3 по 3 = 9 и 9 на квадрат е 9 по 9 = 81. Квадратът е представен от малките 2 в горния десен ъгъл на числото на квадрат - така: 32, 92, 1002и т.н.
Опитайте да квадратирате някои други числа, за да тествате тази концепция. Не забравяйте, че квадратирането на число умножава число само по себе си. Можете дори да квадратирате отрицателни числа. Резултатът винаги ще бъде положително число. Например -82 = -8 × -8 = 64.
Стъпка 2. Квадратният корен е реципрочният на квадрата
Символът за квадратния корен (√, известен също като "радикален" символ) е по същество противоположен на символа 2. Когато намерите радикал, се запитайте: кое число, ако е на квадрат, би довело до числото вътре в радикала? Например, ако погледнете √ (9), намерете числото, което на квадрат е девет. По този начин отговорът е "три", защото 32 = 9.
-
Като друг пример, нека се опитаме да намерим квадратния корен от 25 (√ (25)). Тоест, търсим число, което, когато е на квадрат, резултатът е 25. Защото 52 = 5 × 5 = 25, тогава (25) =
Стъпка 5..
-
Квадратният корен също може да се счита за „отмяна“на квадрата. Например, ако искаме да намерим (64), квадратния корен от 64, тогава помислете за 64 като 82. Тъй като символът с квадратен корен по същество „отрича“квадратния символ, следователно (64) = (82) =
Стъпка 8..
Стъпка 3. Знайте разликата между перфектни и несъвършени квадрати
Досега резултатите от нашите изчисления с квадратен корен бяха цели числа. Въпросите, с които ще се сблъскате по -късно, няма да бъдат толкова лесни, ще има въпроси с десетичен брой отговори с няколко цифри зад запетаята. Числата, които са закръглени след квадратиране (тоест не дробни или десетични числа), също се наричат „перфектни квадрати“. Всички предишни примери (9, 25 и 64) са перфектни квадрати, защото ако са на квадрат, резултатът е цяло число (3, 5 и 8).
От друга страна, числата, които не са закръглени след като са на квадрат, са „несъвършени квадрати“. Обикновено след квадратиране резултатът е дробно или десетично число. Понякога дори числата изглеждат много сложни, като (13) = 3, 605551275464…
Стъпка 4. Запомнете квадрата на числата 1-12
Както вече знаете, квадратирането на перфектно квадратно число е много лесно. Запаметяването на квадратите на числата 1-12 може да бъде много полезно, защото тези числа ще се появят много в проблема. Така ще спестите време, докато работите по въпросите. Първите 12 на квадрат числа са::
-
12 = 1 × 1 =
Етап 1.
-
22 = 2 × 2 =
Стъпка 4.
-
32 = 3 × 3 =
Стъпка 9.
-
42 = 4 × 4 =
Стъпка 16.
-
52 = 5 × 5 =
Стъпка 25.
- 62 = 6 × 6 = 36
- 72 = 7 × 7 = 49
- 82 = 8 × 8 = 64
- 92 = 9 × 9 = 81
- 102 = 10 × 10 = 100
- 112 = 11 × 11 = 121
- 122 = 12 × 12 = 144
Стъпка 5. Опростете квадратния корен, като премахнете перфектните квадрати
Намирането на квадратния корен от несъвършено квадратно число може да бъде трудно, особено ако не използвате калкулатор. Въпреки това, числото, което трябва да бъде на квадрат, може да бъде опростено, за да се улесни изчисляването. За да направите това, просто разделете числото в радикала на няколко фактора, след това премахнете квадратния корен от перфектните квадратни числа и напишете отговора извън радикала. Този метод е доста лесен за изпълнение - за по -добро разбиране, ето още обяснение:
- Да речем, че искаме да изчислим квадратния корен от 900. Така че, просто разделете 900 на неговите фактори. „Факторите“са числа, които могат да бъдат умножени заедно, за да се получи друго число. Например числото 6 може да бъде получено чрез умножение и 1 × 6 и 2 × 3, така че факторите на 6 са 1, 2, 3 и 6.
- Имайки предвид този принцип, нека разбием 900 на неговите фактори. Като начало пишем 900 като 9 × 100. Тъй като 9 е перфектен квадрат, можем да вземем квадратния корен от 100 поотделно. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). С други думи, (900) = 3√(100).
-
Можем да го опростим допълнително, като разделим 100 на неговите фактори, а именно 25 и 4. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Следователно, може да се изчисли (900) = 3 (10) =
Стъпка 30..
Стъпка 6. Използвайте въображаемо число за квадратния корен от отрицателно число
Помислете, какво число, ако резултатът на квадрат е -16? Отговорът - не. Всички числа на квадрат резултатът винаги е положителен, защото е отрицателен (-), когато се умножи по отрицателен, резултатът е положителен (+). Така че, за да квадратираме отрицателно число, трябва да заменим отрицателното число с въображаемо число (обикновено под формата на букви или символи). Например променливата "i" обикновено се използва за квадратния корен от -1. Въображаемо число винаги е в квадратния корен на отрицателно число.
Трябва да се отбележи, че въпреки че въображаемите числа никога не се представят с числа, те все още могат да се третират като числа по различни начини. Например, квадратният корен от отрицателно число може да бъде на квадрат, за да се премахне квадратният корен. Например i2 = - 1
Част 2 от 3: Използвайте дългия алгоритъм за разделяне
Стъпка 1. Решете проблеми с квадратен корен като проблеми с дългото разделяне
Макар и отнемащи време, трудни проблеми с квадратен корен могат да бъдат решени без калкулатор. За да направим това, ще използваме метод (или алгоритъм), подобен на разделянето с дълъг стек.
- Започнете, като напишете проблема с квадратния корен, както бихте направили с дълъг проблем с разделянето. Като примерен проблем намерете корена на 6, 45, което не е цяло число. Първо пишем радикалния символ (√), след това под него пишем числото, на което искаме да вземем квадрата. След това начертайте линия над числата, точно като деление с дълъг стек. Сега символът "√" изглежда така, сякаш има опашка с номер 6.45 в долната част.
- Ще пишем числата над проблема, така че не забравяйте да оставите малко празно място.
Стъпка 2. Групирайте цифрите на числото по двойки
Първо групирайте цифрите на числото под радикала на двойки, започвайки от десетичната запетая. Направете някакъв маркер (точка, запетая, ред и т.н.) между двойките за лесно проследяване.
В примерната задача 6, 45 ще бъдат разделени на 6-, 45-00. Не забравяйте, че вляво има „останали“цифри - това не е проблем.
Стъпка 3. Намерете най -голямото число, чиято квадратна стойност е по -малка или равна на първата група
Започнете с първото число в групата вляво. Изберете най -голямото число, чиято квадратна стойност е по -малка или равна в групата. Например, ако групата е 37, изберете 6, защото 62 = 36 <37, но 72 = 49> 37. Напишете това число над първата група. Това число е първата цифра от вашия отговор.
-
В примерната задача първата група от 6-, 45-00 е 6. Най-голямото число, което е по-малко или равно на 6, когато е на квадрат, е
Стъпка 2. - 22 = 4. Напишете числото "2" над 6 и опашката е радикал.
Стъпка 4. Умножете номера, който току -що сте записали, след това го спуснете надолу и след това го извадете
Вземете първата цифра от отговора си (написана над радикала) и я умножете. Напишете отговора под първата група и извадете, за да намерите разликата. Пуснете следващата група вдясно от разликата, която току -що сте изчислили. Накрая напишете последната цифра от умножаването на първата цифра от отговора си вляво и оставете празно място отдясно.
В примерния проблем числото, което е удвоено, е 2 (първата цифра от предишния отговор). 2 × 2 = 4. След това извадете 4 по 6 (от първата група). 6 - 4 резултатът е 2. След това свалете следващата група (45) и получаваме 245. Накрая отново напишете числото 4 вляво и оставете малко място вдясно, така: 4_
Стъпка 5. Попълнете празното пространство
Добавете цифрите вдясно от номера, който сте написали вляво. Изберете цифрата, която дава най -голямата стойност, умножена по това ново число, но все пак е по -малка или равна на „извлеченото число“. Например, ако „производното число“е 1700, а числото отляво е 40_, числото, което трябва да бъде въведено, е „4“, защото 404 × 4 = 1616 <1700, докато 405 × 5 = 2025. Числото, намерено в тази стъпка е втората цифра на вашия отговор, така че я напишете над радикалния символ.
-
В примерния проблем ще търсим числото до 4_ × _, чийто отговор е най -голямото число, но е по -малко или равно на 245. Отговорът е
Стъпка 5.. 45 × 5 = 225, докато 46 × 6 = 276.
Стъпка 6. Продължете да използвате числата „празно място“, за да намерите отговора си
Продължете модела на разделяне с дълъг стек, докато разликата между изважданията на получените числа е нула или не се получи доста точно число. Когато приключите, цифрите, които сте използвали, за да попълните празните места във всяка стъпка (плюс първото число, което сте използвали), съставляват всяка цифра от вашия отговор.
-
В примерния проблем, извадете 245 на 220, за да получите 20. След това ще намалим следващата група от цифри, 00 и ще получим 2000. Умножете числото над радикалния символ и получаваме 25 × 2 = 50. За да попълните в заготовките при 50_ × _ =/<2 000 получаваме числото
Стъпка 3.. Сега имаме "253" над радикалния символ - повторете този процес отново и вземете 9 на следващата цифра.
Стъпка 7. Премахнете десетичния знак от началото
За да получите окончателния отговор, поставете десетичната запетая на правилната позиция. Лесно е - просто поставете десетичната запетая в ред с десетичната запетая под радикалния символ. Например числото под радикала е 49, 8, затова поставете десетична запетая между числата над 8 и 9.
В примерния проблем, ако числото под радикала е 6, 45, тогава десетичната запетая ще бъде в ред между цифрите 2 и 5. Това означава, че крайният отговор е 2, 539.
Част 3 от 3: Бърза оценка на несъвършените квадрати
Стъпка 1. Намерете несъвършения квадрат, използвайки приближение
След като запомните перфектните квадрати, намирането на несъвършени квадрати ще бъде много по -лесно. Номерът е да намерите перфектен квадрат преди и след числото, което търсите. След това определете кой от двата перфектни квадрата е най -близо до числото, което търсите.
Например, искаме да намерим квадратния корен от 40. Перфектното квадратно число преди и след 40 е 62 и 72, което е 36 и 49. Тъй като 40 е по -голямо от 36 и по -малко от 49, квадратният корен от 40 трябва да бъде между 6 и 7. Числото 40 е по -близо до 36 от 49, така че квадратният корен от 40 е по -близо до 6. Ето няколко стъпки, за да намерите точен отговор.
Стъпка 2. Оценете квадратния корен до една цифра след запетаята
Когато сте определили две перфектни квадратни числа преди и след числото, което търсите, останалото е процесът на намиране на числото зад запетаята, което е най -близо до отговора. Започнете с приблизителното едноцифрено число след запетаята. Този процес ще се повтаря, докато не получите отговор с точността, която искате.
В примерния проблем разумното приближение на квадратния корен от 40 е 6, 4, защото отговорът най -вероятно е по -близо до 6 от 7.
Стъпка 3. Умножете прогнозния си брой по самото число
С други думи, квадратирайте приблизителния си брой. Ако имате късмет, резултатът ще бъде числото в проблема. Ако не, продължете да добавяте или изваждате числата след запетаята, докато намерите квадрата, най -близък до числото в задачата.
- Умножете 6, 4 по 6, 4, за да получите 6, 4 × 6, 4 = 40, 96, което е малко над 40.
- Тъй като първоначалният експеримент беше излишен, извадете приближението си с един десетичен знак, което е 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. Този резултат е малко под числото в проблема. Това означава, че квадратният корен от 40 е между 6, 3 и 6, 4. След това, тъй като 39.69 е по -близо до 40, квадратният корен от 40 също е по -близо до 6, 3.
Стъпка 4. Препратете прогнозата, ако е необходимо
Използвайте отговора си, ако смятате, че е достатъчно точен. Но ако не, просто продължете с приблизителния модел по -горе, докато не намерите отговор с три или четири цифри след запетаята - така или иначе, докато достигнете нивото на точност, което искате.
