Детерминантата на матриците често се използва в смятане, линейна алгебра и геометрия на по -високо ниво. Извън академичните среди инженерите и програмистите по компютърна графика използват матрици и техните детерминанти през цялото време. Ако вече знаете как да определите детерминантата на матрица от порядъка на 2x2, просто трябва да научите кога да използвате събиране, изваждане и времена, за да определите детерминантата на матрица от ред 3x3.
Стъпка
Част 1 от 2: Определяне на детерминантите
Напишете вашата матрица за поръчка 3 x 3. Ще започнем с матрица A от ред 3x3 и ще се опитаме да намерим детерминантата | A |. По -долу е общата форма на матрична нотация, която ще използваме, и пример за нашата матрица:
| а11 | а12 | а13 | 1 | 5 | 3 | |||
| М | = | а21 | а22 | а23 | = | 2 | 4 | 7 |
| а31 | а32 | а33 | 4 | 6 | 2 |
Стъпка 1. Изберете ред или колона
Направете своя избор като референтен ред или колона. Каквото и да изберете, пак ще получите същия отговор. Временно изберете първия ред. Ще ви дадем някои предложения за избор на най-лесната за изчисляване опция в следващия раздел.
Изберете първия ред от примерната матрица A. Закръглете числото 1 5 3. В обща нотация, кръг a11 а12 а13.
Стъпка 2. Зачеркнете реда и колоната на първия си елемент
Погледнете реда или колоната, които сте заобиколили, и изберете първия елемент. Зачеркнете редовете и колоните. Ще останат само 4 числа недокоснати. Направете тези 4 числа матрица за подреждане 2 x 2.
- В нашия пример референтният ни ред е 1 5 3. Първият елемент е в 1 -ви ред и 1 -ва колона. Зачеркнете целия 1 -ви ред и 1 -ва колона. Запишете останалите елементи в матрица 2 x 2:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
Стъпка 3. Определете детерминантата на матрицата от порядъка 2 x 2
Запомнете, определете детерминантата на матрицата [а° С бд] от реклама - пр. н. е. Може също да сте се научили да определяте детерминантата на матрица, като начертаете X между матрица 2 x 2. Умножете двете числа, свързани с линията / на X. След това извадете броя пъти двете числа, свързани с линията / са. Използвайте тази формула, за да изчислите детерминантата на матрица 2 x 2.
- В примера детерминантата на матрицата [46 72] = 4*2 - 7*6 = - 34.
- Тази детерминанта се нарича незначителен от елементите, които сте избрали в началната матрица. В този случай току -що намерихме малолетното на a11.
Стъпка 4. Умножете намереното число с избрания от вас елемент
Не забравяйте, че сте избрали елементи от референтния ред (или колона), когато сте решили кои редове и колони да зачеркнете. Умножете този елемент по детерминантата на матрицата 2 x 2, която сте намерили.
В примера избираме a11 което е 1. Умножете това число по -34 (детерминантата на матрицата 2 x 2), за да получите 1*-34 = - 34.
Стъпка 5. Определете символа на вашия отговор
Следващата стъпка е, че трябва да умножите отговора си с 1 или -1, за да получите кофактор на избрания от вас елемент. Символът, който използвате, зависи от това къде са елементите в матрицата 3 x 3. Не забравяйте, че тази таблица със символи се използва за определяне на множителя на вашия елемент:
- + - +
- - + -
- + - +
- Тъй като избираме a11 който е означен с +, ще умножим числото с +1 (или с други думи, не го променяйте). Отговорът, който се появява, ще бъде същият, а именно - 34.
- Друг начин за дефиниране на символ е да използвате формулата (-1) i+j, където i и j са елементи от ред и колона.
Стъпка 6. Повторете този процес за втория елемент във вашия референтен ред или колона
Върнете се към оригиналната матрица 3 x 3, в която сте заобиколили реда или колоната по -рано. Повторете същия процес с елемента:
-
Зачеркнете реда и колоната на елемента.
В този случай изберете елемента a12 (което струва 5). Зачеркнете 1 -ви ред (1 5 3) и 2 -ра колона (5 4 6).
-
Превърнете останалите елементи в матрица 2x2.
В нашия пример матрицата на ред 2x2 за втория елемент е [24 72].
-
Определете детерминантата на тази матрица 2x2.
Използвайте формулата ad - bc. (2*2 - 7*4 = -24)
-
Умножете по елементите на избраната от вас матрица 3х3.
-24 * 5 = -120
-
Решете дали да умножите горния резултат с -1 или не.
Използвайте таблица със символи или формули (-1)ij. Изберете елемент а12 символизирано - в таблицата със символи. Заменете нашия символ за отговор с: (-1)*(-120) = 120.
Стъпка 7. Повторете същия процес за третия елемент
Имате още един кофактор за определяне на детерминантата. Пребройте i за третия елемент във вашия референтен ред или колона. Ето бърз начин за изчисляване на кофактора a13 в нашия пример:
- Зачеркнете първия ред и третата колона, за да получите [24 46].
- Детерминантата е 2*6 - 4*4 = -4.
- Умножете по елемент а13: -4 * 3 = -12.
- Елемент а13 символ + в таблицата със символи, така че отговорът е - 12.
Стъпка 8. Добавете резултатите от трите си броя
Това е последната стъпка. Изчислили сте три кофактора, по един за всеки елемент в ред или колона. Добавете тези резултати и ще намерите детерминантата на матрица 3 x 3.
В примера детерминантата на матрицата е - 34 + 120 + - 12 = 74.
Част 2 от 2: Улесняване на решаването на проблеми
Стъпка 1. Изберете реда или колоната с препратки, които имат най -много 0
Не забравяйте, че можете да изберете всеки ред или колона, които искате. Каквото и да изберете, отговорът ще бъде същият. Ако изберете ред или колона с номер 0, трябва само да изчислите кофактора с елементи, които не са 0, защото:
- Например, изберете втория ред, който има елемент a21, а22, фонд23. За да разрешим този проблем, ще използваме 3 различни 2 x 2 матрици, да речем A21, А22, Вие23.
- Определителят на матрицата 3x3 е a21| А21| - а22| А22| + а23| А23|.
- Ако22 фонд23 стойност 0, съществуващата формула ще бъде a21| А21| - 0*| A22| + 0*| A23| = а21| А21| - 0 + 0 = а21| А21|. Следователно ще изчислим само кофактора само на един елемент.
Стъпка 2. Използвайте допълнителни редове, за да улесните проблемите с матрицата
Ако вземете стойностите от един ред и ги добавите към друг ред, детерминантата на матрицата няма да се промени. Същото важи и за колоните. Можете да направите това многократно или да умножите по константа, преди да я добавите, за да получите възможно най -много 0 в матрицата. Това може да спести много време.
- Например, имате матрица с 3 реда: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
- За да премахнете числото 9, което е в позиция а11, можете да умножите стойността във 2 -рия ред с -3 и да добавите резултата към първия ред. Сега новият първи ред е [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- Новата матрица има редове [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Използвайте същия трик за колони, за да направите a12 бъде числото 0.
Стъпка 3. Използвайте бързия метод за триъгълни матрици
В този специален случай детерминантата е произведение на елементите по главния диагонал, на a11 горе вляво до a33 в долния десен ъгъл на матрицата. Тази матрица все още е матрица 3x3, но матрицата "триъгълник" има специален модел от числа, които не са 0:
- Горна триъгълна матрица: Всички елементи, които не са 0, са на или над основния диагонал. Всички числа под основния диагонал са 0.
- Долна триъгълна матрица: Всички елементи, които не са 0, са на или под основния диагонал.
- Диагонална матрица: Всички елементи, които не са 0, са на основния диагонал (подмножеството на горните типове матрици).
Съвети
- Ако всички елементи в ред или колона са 0, детерминантата на матрицата е 0.
- Този метод може да се използва за всички размери на квадратни матрици. Например, ако използвате този метод за матрица от ред 4x4, вашият "удар" ще остави матрица от ред 3x3, чиято детерминанта може да бъде определена, като следвате стъпките по -горе. Не забравяйте, че това може да бъде скучно!
