В дните преди изобретяването на калкулаторите учениците и преподавателите трябваше да изчисляват квадратните корени ръчно. Разработени са няколко различни начина за преодоляване на този труден процес. Някои начини дават приблизителна оценка, а други дават точна стойност. За да научите как да намерите квадратния корен на число, използвайки само прости операции, вижте стъпка 1 по -долу, за да започнете.
Стъпка
Метод 1 от 2: Използване на първична факторизация
Стъпка 1. Разделете номера си на перфектни квадратни фактори
Този метод използва факторите на числото, за да намери квадратния корен на числото (в зависимост от числото отговорът може да бъде точно число или близко приближение). Факторите на числото са набор от други числа, които, когато се умножат, произвеждат това число. Например, можете да кажете, че факторите 8 са 2 и 4, защото 2 × 4 = 8. Междувременно перфектните квадрати са цели числа, които са произведение на други цели числа. Например, 25, 36 и 49 са перфектни квадрати, защото те са съответно 52, 62, и 72. Както може би се досещате, перфектните квадратни фактори са фактори, които също са перфектни квадрати. За да започнете да намирате квадратния корен чрез просто факторизиране, първо се опитайте да опростите вашето число до неговите перфектни квадратни множители.
- Нека използваме пример. Искаме ръчно да намерим квадратния корен от 400. За начало ще разделим числото на неговите перфектни квадратни фактори. Тъй като 400 е кратно на 100, ние знаем, че 400 се дели на 25 - перфектен квадрат. С бързо разделяне на сенките откриваме, че 400, разделено на 25, е равно на 16. По стечение на обстоятелствата 16 също е перфектен квадрат. По този начин перфектните квадратни фактори от 400 са 25 и 16 защото 25 × 16 = 400.
- Можем да го запишем като: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
Стъпка 2. Намерете квадратния корен на вашите перфектни квадратни фактори
Свойството за умножение на квадратния корен гласи, че за всяко число a и b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Поради това свойство сега можем да намерим квадратния корен на нашите перфектни квадратни множители и да ги умножим, за да получим отговора си.
-
В нашия пример ще намерим квадратните корени от 25 и 16. Вижте по -долу:
- Корен (25 × 16)
- Корен (25) × Корен (16)
-
5 × 4 =
Стъпка 20.
Стъпка 3. Ако вашият номер не може да се вземе предвид перфектно, опростете отговора си в най -простата му форма
В реалния живот често числата, от които се нуждаете, за да намерите квадратния корен, не са приятни цели числа с очевидни перфектни квадратни фактори като 400. В тези случаи е възможно да не намерим правилния отговор като цяло число. Въпреки това, като намерите колкото се може повече перфектни квадратни фактори, можете да намерите отговора под формата на квадратен корен, който е по -малък, по -прост и по -лесен за изчисляване. За да направите това, намалете броя си до комбинация от перфектни квадратни фактори и несъвършени квадратни фактори, след което опростете.
-
Нека използваме квадратния корен от 147 като пример. 147 не е произведение на два перфектни квадрата, така че не можем да получим точната цялостна стойност, както по -горе. 147 обаче е продукт на един перфектен квадрат и друго число - 49 и 3. Можем да използваме тази информация, за да напишем отговора си в най -простата му форма, както следва:
- Корен (147)
- = Корен (49 × 3)
- = Sqrt (49) × Sqrt (3)
- = 7 × корен (3)
Стъпка 4. Ако е необходимо, направете оценка
С вашия квадратен корен в най -простата му форма обикновено е доста лесно да получите груба оценка на числовия отговор, като отгатнете стойността на останалия квадратен корен и го умножите. Един от начините да се ориентирате в предположението си е да потърсите перфектни квадрати, които са по -големи и по -малки от числото във вашия квадратен корен. Ще забележите, че десетичната стойност на числото във вашия квадратен корен е между двете числа, така че можете да отгатнете стойността между двете числа.
-
Нека се върнем към нашия пример. защото 22 = 4 и 12 = 1, знаем, че Root (3) е между 1 и 2 - вероятно по -близо до 2 от 1. Оценяваме 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. Ако проверим отговора си в калкулатора, можем да видим, че нашият отговор е доста близо до истинския отговор, който е 12, 13.
Това важи и за по -големи числа. Например, Root (35) може да бъде приблизително между 5 и 6 (вероятно по -близо до 6). 52 = 25 и 62 = 36. 35 е между 25 и 36, така че квадратният корен трябва да бъде между 5 и 6. Тъй като 35 е само един по -малък от 36, можем да кажем с увереност, че квадратният корен е малко по -малък от 6. Проверяването с калкулатор ще дайте ни отговора е около 5, 92 - прави сме.
Стъпка 5. Друга възможност е да намалите броя си до най -малко често срещаните му фактори като първа стъпка
Намирането на факторите на перфектните квадрати не е необходимо, ако можете лесно да определите простите фактори на число (фактори, които също са прости числа). Напишете номера си по отношение на най -малко често срещаните му фактори. След това намерете двойките прости числа, които съответстват на вашите фактори. Когато намерите два основни фактора, които са еднакви, премахнете тези две числа от квадратния корен и поставете едно от тези числа извън квадратния корен.
-
Например, намерете квадратния корен от 45, като използвате този метод. Знаем, че 45 × 5 и знаем, че под 9 = 3 × 3. По този начин можем да напишем нашия квадратен корен от гледна точка на факторите като този: Sqrt (3 × 3 × 5). Просто премахнете и трите и поставете едно 3 извън квадратния корен, за да опростите квадратния корен до най -простата му форма: (3) Корен (5).
Оттук нататък ще бъдем лесни за оценка.
-
Като последен примерен проблем, нека се опитаме да намерим квадратния корен от 88:
- Корен (88)
- = Корен (2 × 44)
- = Корен (2 × 4 × 11)
- = Корен (2 × 2 × 2 × 11). Имаме 2 в нашия квадратен корен. Тъй като 2 е просто число, можем да премахнем двойка 2s и да поставим едно от тях извън квадратния корен.
-
= Нашият квадратен корен в най -простата си форма е (2) Sqrt (2 × 11) или (2) Корен (2) Корен (11).
От тук можем да оценим Sqrt (2) и Sqrt (11) и да намерим приблизителния отговор, както искаме.
Метод 2 от 2: Ръчно намиране на квадратния корен
Използване на дългия алгоритъм за разделяне
Стъпка 1. Разделете цифрите на номера си на двойки
Този метод използва процес, подобен на дългото деление, за да намери точния квадратен корен цифра по цифра. Въпреки че не е задължително, може да ви бъде по-лесно да извършите този процес, ако визуално организирате работното си място и номерата си в лесни за работа части. Първо нарисувайте вертикална линия, разделяща работната ви зона на две секции, след това нарисувайте по -къса хоризонтална линия близо до горния десен ъгъл, за да разделите дясната секция на по -малка горна част и по -голяма долна част. След това разделете цифрите си на двойки, започвайки от десетичната запетая. Например, следвайки това правило, 79,520,789,182, 47897 става „7 95 20 78 91 82. 47 89 70“. Напишете номера си горе вляво.
Например, нека се опитаме да изчислим квадратния корен от 780, 14. Начертайте два реда, за да разделите работното си място по -горе и напишете „7 80. 14“в горния ляв ъгъл. Няма значение дали най -лявото число е едно число, а не чифт числа. Ще напишете отговора си (квадратен корен 780, 14) горе вдясно
Стъпка 2. Намерете най -голямото цяло число, чиято квадратна стойност е по -малка или равна на числото (или двойка числа) вляво
Започнете най -отляво на вашия номер, както двойки числа, така и единични числа. Намерете най -големия перфектен квадрат, който е по -малък или равен на това число, след това намерете квадратния корен на този перфектен квадрат. Това число е n. Напишете n в горния десен ъгъл и квадрат в n в долния десен квадрант.
В нашия пример най -ляво е числото 7. Защото знаем, че 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, можем да кажем, че n = 2, защото 2 е най -голямото цяло число, чиято квадратна стойност е по -малка или равна на 7. Напишете 2 в горния десен квадрант. Това е първата цифра от нашия отговор. Напишете 4 (квадратна стойност 2) в долния десен квадрант. Това число е важно за следващата стъпка.
Стъпка 3. Извадете току -що изчисленото число от най -лявата двойка
Както при дългото разделяне, следващата стъпка е да извадим стойността на квадрата, който току -що намерихме, от частта, която току -що анализирахме. Напишете това число под първата част и го извадете, като напишете отговора си под него.
-
В нашия пример ще напишем 4 под 7, след което ще го извадим. Това изваждане дава отговор
Стъпка 3..
Стъпка 4. Пуснете следващата двойка
Преместете надолу следващия раздел на числото, за което търсите квадратния корен, до току -що намерената стойност на изваждане. След това умножете числото в горния десен квадрант с две и напишете отговора в долния десен квадрант. До числото, което току -що записахте, оставете място за задачата за умножение, която ще направите в следващата стъпка, като напишете "" _ × _ = "'.
В нашия пример следващата двойка от нашите числа е "80". Напишете "80" до 3 в левия квадрант. След това умножете числото горе вдясно с две. Това число е 2, така че 2 × 2 = 4. Напишете "'4"' в долния десен квадрант, последвано от _×_=.
Стъпка 5. Попълнете празните места в десния квадрант
Трябва да попълните всички празни места, които току -що сте написали в десния квадрант със същото цяло число. Това цяло число трябва да бъде най -голямото цяло число, което прави продукта в десния квадрант по -малък или равен на броя в момента вляво.
В нашия пример попълваме празните места с 8, което води до 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Тази стойност е по -голяма от 384. По този начин 8 е твърде голяма, но 7 може да работи. Напишете 7 на празните места и решете: 4 (7) × 7 = 329. 7 е правилно число, защото 329 е по -малко от 380. Напишете 7 в горния десен квадрант. Това е втората цифра в квадратния корен от 780, 14
Стъпка 6. Извадете току -що изчисленото число от числото вляво
Продължете с веригата за изваждане, като използвате метода на дългото разделяне. Вземете продукта на проблема в десния квадрант и го извадете от числото, което сега е вляво, докато пишете отговорите си по -долу.
В нашия пример ще извадим 329 от 380, което дава резултата 51.
Стъпка 7. Повторете стъпка 4
Изведете следващата част от числото, за което търсите квадратния корен. Когато достигнете десетичната точка във вашия номер, напишете десетичната запетая във вашия отговор в горния десен квадрант. След това умножете числото в горния десен ъгъл с 2 и го запишете до празния проблем с умножението ("_ × _"), както по -горе.
В нашия пример, тъй като сега имаме работа с десетичната запетая в 780, 14, напишете десетичната запетая след нашия текущ отговор горе вдясно. След това спуснете следващата двойка (14) в левия квадрант. Два пъти числото в горния десен ъгъл (27) е равно на 54, така че напишете „54 _ × _ =“в долния десен квадрант
Стъпка 8. Повторете стъпки 5 и 6
Намерете най -голямата цифра, за да попълните празните места вдясно, което дава отговор, по -малък или равен на броя в момента вляво. След това решете проблема.
В нашия пример 549 × 9 = 4941, което е по -малко или равно на числото вляво (5114). 549 × 10 = 5490 е твърде голям, така че 9 е вашият отговор. Напишете 9 като следващата цифра в горния десен квадрант и извадете продукта от числото вляво: 5114 минус 4941 е равно на 173
Стъпка 9. За да продължите да броите цифрите, спуснете двойката нули отляво и повторете стъпки 4, 5 и 6
За по -голяма точност продължете този процес, за да намерите стотиците, хилядите и още места във вашия отговор. Продължете да използвате този цикъл, докато намерите десетичната запетая, която искате.
Разбиране на процеса
Стъпка 1. Представете си числото, от което сте изчислили квадратния корен, като площ S на квадрат
Тъй като площта на квадрат е P2 където P е дължината на една от страните, след като се опитвате да намерите квадратния корен на вашето число, вие всъщност се опитвате да изчислите дължината P на тази страна на квадрата.
Стъпка 2. Определете буквените променливи за всяка цифра от вашия отговор
Задайте променливата A като първа цифра на P (корен квадратен, който се опитваме да изчислим). B ще бъде втората цифра, C третата цифра и т.н.
Стъпка 3. Определете буквените променливи за всяка част от началния си номер
Задайте променлива Sа за първата двойка цифри в S (вашата първоначална стойност), Sб за втората двойка цифри и т.н.
Стъпка 4. Разберете връзката между този метод и дългото разделение
Този метод за намиране на квадратния корен е по същество проблем с дълго деление, който разделя първоначалното ви число на квадратния корен, което ви дава квадратния корен от отговора. Точно както при проблема с дългото разделяне, вие се интересувате само от следващата цифра във всяка стъпка. По този начин се интересувате само от следващите две цифри във всяка стъпка (която е следващата цифра във всяка стъпка за квадратния корен).
Стъпка 5. Намерете най -голямото число, чиято квадратна стойност е по -малка или равна на Sа.
Първата цифра на A в нашия отговор е най -голямото цяло число, чиято квадратна стойност не надвишава Sа (т.е. A, така че A² Sa <(A+1) ²). В нашия пример Sа = 7 и 2² 7 <3², така че A = 2.
Имайте предвид, че например, ако искате да разделите 88962 на 7, като използвате дълго деление, първите стъпки са почти същите: ще видите първата цифра от 88962 (която е 8) и търсите най -голямата цифра което, умножено по 7, е по -малко или равно на 8 По принцип търсите d, така че 7 × d 8 <7 × (d+1). В този случай d ще бъде равно на 1
Стъпка 6. Представете си стойността на квадрата, върху чиято площ ще започнете да работите
Вашият отговор, квадратният корен на вашето начално число, е P, който описва дължината на квадрата с площ S (вашето начално число). Вашите оценки за A, B, C представляват цифрите в стойността на P. Друг начин да се каже това е 10A + B = P (за двуцифрен отговор), 100A + 10B + C = P (за три- цифров отговор) и др.
В нашия пример, (10A+B) ² = P2 = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Не забравяйте, че 10A+B представлява нашия отговор, P, с B в позицията на единиците и A в позицията на десетките. Например, с A = 1 и B = 2, тогава 10A+B е равно на 12. (10A+B) ² е общата площ на квадрата, докато 100А² е площта на най -големия квадрат в него, B² е площта на най -малкия квадрат в него, и 10A × B е площта на двата останали правоъгълника. Правейки този дълъг и сложен процес, ние намираме общата площ на квадрат, като добавим площите на квадратите и правоъгълниците вътре.
Стъпка 7. Извадете A² от Sа.
Намалете една двойка цифри (Sб) на S. Стойност на Sа Сб близо до общата площ на квадрата, която току -що сте използвали за изваждане на по -големия вътрешен квадрат. Остатъкът може да се мисли като числото N1, което получихме в стъпка 4 (N1 = 380 в нашия пример). N1 е равно на 2 & times: 10A × B + B² (площ на двата правоъгълника плюс площта на по -малкия квадрат).
Стъпка 8. Намерете N1 = 2 × 10A × B + B², което също се записва като N1 = (2 × 10A + B) × B
В нашия пример вече знаете N1 (380) и A (2), така че трябва да намерите B. B най -вероятно не е цяло число, така че наистина трябва да намерите най -голямото цяло число B, така че (2 × 10A + B) × B N1. Значи имате: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)
Стъпка 9. Завършете
За да разрешите това уравнение, умножете A по 2, преместете резултата в позиция на десетките (еквивалент на умножаване по 10), поставете B в позицията на единиците и умножете числото по B. С други думи, решете (2 × 10A + B) × B. Точно това правите, когато пишете „N_ × _ =“(с N = 2 × A) в долния десен квадрант в стъпка 4. В стъпка 5 намирате най -голямото цяло число B, което съответства на числото под него, така че (2 × 10A + B) × B N1.
Стъпка 10. Извадете площта (2 × 10A + B) × B от общата площ
Това изваждане води до площта S- (10A+B) ², която не е изчислена (и която ще бъде използвана за изчисляване на следващата цифра по същия начин).
Стъпка 11. За да изчислите следващата цифра C, повторете процеса
Спуснете следващата двойка (S° С) на S, за да получите N2 вляво, и намерете най-големия C, така че да имате (2 × 10 × (10A+B)+C) × C N2 (еквивалентно на изписване на двуцифрено число „AB“, последвано от "_ × _ =". Намерете най -голямата съвпадаща цифра в заготовките, която дава отговор, по -малък или равен на N2, както преди.
Съвети
- Преместването на десетична точка с кратно на две цифри в число (кратно на 100) означава преместване на десетична точка с кратно на една цифра в квадратния корен (кратно на 10).
- В този пример 1.73 може да се счита за "остатък": 780, 14 = 27, 9² + 1.73.
- Този метод може да се използва за всяка база, а не само за база 10 (десетична).
- Можете да използвате смятане, което е по -удобно за вас. Някои хора записват резултата над първоначалното число.
- Алтернативен начин за използване на повтарящи се дроби е да следвате тази формула: z = (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + …))). Например, за да се изчисли квадратният корен от 780, 14, цяло число, чиято квадратна стойност е най-близо до 780, 14 е 28, така че z = 780, 14, x = 28 и y = -3, 86. Въвеждане на стойности и изчислявайки приблизителните оценки само за x + y/(2x), това дава (най -просто казано) 78207/20800 или около 27, 931 (1); следващ термин, 4374188/156607 или приблизително 27, 930986 (5). Всеки термин добавя около 3 десетични знака към точността на предишния брой десетични знаци.
