Производните могат да се използват за извличане на полезни характеристики от графика, като максимални, минимални, пикови, най -ниски и наклонени стойности. Можете дори да го използвате за начертаване на сложни уравнения без графичен калкулатор! За съжаление, работата по деривати е често досадна, но тази статия ще ви помогне с някои съвети и трикове.
Стъпка
Стъпка 1. Разберете производната нотация
Следните две нотации са най -често използваните, въпреки че много други могат да бъдат намерени тук в Уикипедия.
- Нотация на Лайбниц Тази нотация е най -често използваната нотация, когато уравнението включва y и x. dy/dx буквално означава производната на y по отношение на x. Може да е полезно да се мисли за него като y/Δx за много различни стойности на x и y. Това обяснение води до дефиницията на границата на производната: limh-> 0 (f (x+h) -f (x))/h. Когато използвате тази нотация за втората производна, трябва да напишете: d2y/dx2.
- Нотация на Лагранж Производната на функцията f също се записва като f '(x). Тази нотация гласи f ударение x. Тази нотация е по -къса от нотацията на Лайбниц и е полезна при разглеждане на производни като функции. За да образувате по -голяма степен на производна, просто добавете 'към f, така че втората производна ще бъде f' '(x).
Стъпка 2. Разберете значението на производната и причините за спускането
Първо, за да се намери наклонът на линейна графика, се вземат две точки на линията и техните координати се въвеждат в уравнението (y2 - у1)/(х2 - х1). Той обаче може да се използва само за линейни графики. За квадратни уравнения и по -високи, линията ще бъде крива, така че намирането на разликата между две точки не е много точно. За да се намери наклонът на допирателната в крива графика, се вземат две точки и се поставят в общото уравнение, за да се намери наклонът на кривата графика: [f (x + dx) - f (x)]/dx. Dx означава делта x, която е разликата между две x координати в две точки на графиката. Обърнете внимание, че това уравнение е същото като (y2 - у1)/(х2 - х1), само в различна форма. Тъй като беше известно, че резултатите ще бъдат неточни, беше приложен непряк подход. За да се намери наклонът на допирателната върху (x, f (x)), dx трябва да е близо до 0, така че двете изтеглени точки да се слеят в една точка. Не можете да разделите 0, така че след като въведете стойностите с две точки, ще трябва да използвате факторинг и други методи, за да премахнете dx от дъното на уравнението. След като направите това, направете dx 0 и сте готови. Това е наклонът на допирателната към (x, f (x)). Производната на уравнение е общото уравнение за намиране на наклона на всяка допирателна върху графика. Това може да изглежда много сложно, но има някои примери по -долу, които ще ви помогнат да обясните как да получите деривата.
Метод 1 от 4: Явни деривати
Стъпка 1. Използвайте изрична производна, ако вашето уравнение вече има y от едната страна
Стъпка 2. Включете уравнението в уравнението [f (x + dx) - f (x)]/dx
Например, ако уравнението е y = x2, производната ще бъде [(x + dx)2 - х2]/dx.
Стъпка 3. Разгънете и премахнете dx, за да образувате уравнението [dx (2x + dx)]/dx
Сега можете да хвърлите два dx отгоре и отдолу. Резултатът е 2x + dx и когато dx наближава нулата, производната е 2x. Това означава, че наклонът на всяка тангента на графиката y = x2 е 2х. Просто въведете стойността x за точката, за която искате да намерите наклона.
Стъпка 4. Научете моделите за извеждане на подобни уравнения
Ето няколко примера.
- Всеки показател е степента, умножена по стойността, повдигната до степен по -малка от 1. Например производната на x5 е 5х4, и производната на x3, 5 iis3, 5x2, 5. Ако вече има число пред x, просто го умножете по степента. Например производната на 3x4 е 12x3.
- Производната на всяка константа е нула. Така че производната на 8 е 0.
- Производната на сумата е сумата на съответните деривати. Например производната на x3 + 3 пъти2 е 3x2 + 6 пъти.
- Производната на продукта е първият фактор, умножен по производната на втория фактор плюс вторият фактор, умножен върху деривата на първия фактор. Например производната на x3(2x + 1) е x3(2) + (2x + 1) 3x2, което е равно на 8x3 + 3 пъти2.
- Производната на коефициента (да речем, f/g) е [g (производна на f) - f (производна на g)]/g2. Например производната на (x2 + 2x - 21)/(x - 3) е (x2 - 6x + 15)/(x - 3)2.
Метод 2 от 4: Неявни деривати
Стъпка 1. Използвайте неявни производни, ако уравнението ви вече не може да бъде записано с y от едната страна
Всъщност, ако сте написали y от едната страна, изчисляването на dy/dx би било досадно. Ето пример за това как можете да решите този тип уравнения.
Стъпка 2. В този пример x2y + 2y3 = 3x + 2y, заменете y с f (x), така че ще запомните, че y всъщност е функция.
Тогава уравнението става x2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
Стъпка 3. За да намерите производната на това уравнение, изведете двете страни на уравнението по отношение на x
Тогава уравнението става x2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f '(x) = 3 + 2f' (x).
Стъпка 4. Заменете отново f (x) с y
Внимавайте да не замествате f '(x), което е различно от f (x).
Стъпка 5. Намерете f '(x)
Отговорът за този пример е (3 - 2xy)/(x2 + 6г2 - 2).
Метод 3 от 4: Деривати от по -висок ред
Стъпка 1. Извличането на функция от по -висок ред означава, че извличате производната (до ред 2)
Например, ако проблемът изисква да изведете трети ред, тогава просто вземете производната на производната на производната. За някои уравнения производната от по-висок ред ще бъде 0.
Метод 4 от 4: Правило на веригата
Стъпка 1. Ако y е диференциална функция на z и z е диференциална функция на x, y е съставна функция на x, а производната на y по отношение на x (dy/dx) е (dy/du)* (du/dx)
Правилото на веригата може да бъде и комбинация от уравнения на мощността, като тази: (2x4 - х)3. За да намерите производната, просто я помислете като правилото за умножение. Умножете уравнението по степента и намалете с 1 до степента. След това умножете уравнението с производната на уравнението в скоби, което повишава степента (в този случай 2x^4 - x). Отговорът на този въпрос е 3 (2x4 - х)2(8x3 - 1).
Съвети
- Винаги, когато видите труден за решаване проблем, не се притеснявайте. Просто се опитайте да го разделите на възможно най -малки части, като приложите правилата за умножение, коефициент и т.н. След това спуснете всяка част.
- Практикувайте с правилото за умножение, правилото на коефициента, правилото на веригата и особено с неявните производни, защото тези правила са много по -трудни за изчисление.
- Разберете добре вашия калкулатор; опитайте различните функции във вашия калкулатор, за да научите как да ги използвате. Много е полезно да знаете как да използвате допирателни и производни функции във вашия калкулатор, ако те са налични.
- Помнете основните тригонометрични производни и как да ги използвате.
