Да се научиш да опростяваш алгебричните изрази е един от ключовете за овладяване на основната алгебра и най -полезният инструмент, който всеки математик трябва да притежава. Опростяването позволява на математиците да преобразуват сложни, дълги и/или нечетни изрази в по -прости или по -лесни еквивалентни изрази. Основните умения за опростяване са много лесни за научаване - дори за тези, които мразят математиката. Следвайки няколко прости стъпки, е възможно да се опростят много от най -често използваните видове алгебрични изрази, без да се използват специални познания по математика. Вижте Стъпка 1, за да започнете!
Стъпка
Разбиране на важни концепции
Стъпка 1. Групирайте термините според техните променливи и правомощия
В алгебрата подобни термини имат една и съща променлива конфигурация, със същата мощност. С други думи, за да бъдат еднакви два термина, те трябва да имат една и съща променлива или изобщо да няма променлива и всяка променлива има една и съща мощност или няма степен. Редът на променливите от гледна точка не е важен.
Например 3x2 и 4x2 са като термини, защото и двамата имат променлива x със степента на квадрата. Въпреки това, x и x2 не са като термини, защото всеки термин има променлива x с различна степен. Почти еднакви, -3yx и 5xz не са като термини, защото всеки термин има различна променлива.
Стъпка 2. Разделяне на множеството чрез изписване на числото като произведение на двата фактора
Факторингът е концепцията за записване на дадено число като произведение на два множителя. Числата могат да имат повече от един набор от фактори - например 12 могат да бъдат получени от 1 × 12, 2 × 6 и 3 × 4, така че можем да кажем, че 1, 2, 3, 4, 6 и 12 са фактори от 12 Друг начин да си го представим е, че факторите на числото са числата, които делят числото цяло.
- Например, ако искаме да вземем коефициент 20, бихме могли да го запишем като 4 × 5.
- Имайте предвид, че променливите термини също могат да бъдат взети предвид. -20x, например, може да се запише като 4 (5 пъти).
- Простите числа не могат да бъдат взети предвид, тъй като те могат да бъдат разделени само от себе си и 1.
Стъпка 3. Използвайте съкращението KaPaK BoTaK, за да запомните реда на операциите
Понякога опростяването на израз просто решава операцията в уравнението, докато вече не може да се работи. В тези случаи е много важно да запомните реда на операциите, за да не възникнат аритметични грешки. Съкращението KaPaK BoTaK ще ви помогне да запомните реда на операциите - буквите показват видовете операции, които трябва да извършите, в реда:
- К провал
- P вдигам
- К али
- Б отново
- T добавете
- К скариди
Метод 1 от 3: Обединяване на подобни условия
Стъпка 1. Запишете уравнението си
Най -простите алгебрични уравнения, включващи само няколко променливи членове с целочислени коефициенти и без дроби, корени и т.н., често могат да бъдат решени само с няколко стъпки. За повечето математически задачи първата стъпка към опростяване на уравнението е да го запишете!
Като примерен проблем за следващите няколко стъпки използваме израза 1 + 2x - 3 + 4x.
Стъпка 2. Определете подобни племена
След това потърсете подобни термини във вашето уравнение. Не забравяйте, че подобни термини имат една и съща променлива и степен.
Например, нека идентифицираме подобни термини в нашето уравнение 1 + 2x - 3 + 4x. 2x и 4x имат една и съща променлива със същата мощност (в този случай x няма експонент). Също така 1 и -3 са подобни термини, защото нямат променливи. Така че в нашето уравнение, 2x и 4x и 1 и -3 са подобни племена.
Стъпка 3. Комбинирайте подобни термини
След като сте идентифицирали подобни термини, можете да ги комбинирате, за да опростите уравнението си. Добавете термините (или извадете в случай на отрицателни членове), за да намалите набора от термини със същата променлива и степен на степен до един равен член.
-
Нека добавим подобни термини в нашия пример.
- 2x + 4x = 6x
- 1 + -3 = - 2
Стъпка 4. Създайте по -просто уравнение от опростените термини
След като комбинирате вашите подобни термини, направете уравнение от новия, по -малък набор от термини. Ще получите по -просто уравнение, което има един термин за различните набори от променливи и степени в първоначалното уравнение. Това ново уравнение е еквивалентно на първоначалното уравнение.
В нашия пример нашите опростени термини са 6x и -2, така че новото ни уравнение е 6x - 2. Това просто уравнение е еквивалентно на оригинала (1 + 2x - 3 + 4x), но по -кратко и по -лесно за работа. Също така е по -лесно да се вземат предвид фактори, които ще разгледаме по -долу, което е друго важно умение за опростяване.
Стъпка 5. Следвайте реда на операции, когато комбинирате подобни термини
В много прости уравнения като това, върху което работихме в примера по -горе, идентифицирането на подобни термини е лесно. Въпреки това, в по -сложни уравнения, като изрази, включващи членове в скоби, дроби и корени, подобни термини, които могат да се комбинират, може да не са ясно видими. В тези случаи следвайте реда на операциите, като извършвате операции върху термините във вашия израз, докато не останат операциите за събиране и изваждане.
-
Например, нека използваме уравнението 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x. Би било погрешно веднага да разглеждаме 3x и 2x като подобни термини и да ги комбинираме, защото скобите в израза показват, че първо трябва да извършим други операции. Първо, ние изпълняваме аритметични операции върху израза в реда на операциите, за да получим термини, които можем да използваме. Вижте следното:
- 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x
- 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
- 15x - 5 + x2 + 8 - 3 пъти. Сега, тъй като единствените останали операции са събиране и изваждане, можем да комбинираме подобни термини.
- х2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
- х2 + 12x + 3
Метод 2 от 3: Факторинг
Стъпка 1. Определете най -големия общ фактор в израза
Факторингът е начин за опростяване на израз чрез премахване на факторите, които са еднакви във всички подобни термини в израза. За да започнете, намерете най -големия общ фактор, който имат всички термини - с други думи, най -големият брой, който разделя всички термини в израза цяло.
-
Нека използваме уравнението 9x2 + 27x - 3. Забележете, че всеки член в това уравнение е делим на 3. Тъй като членовете не се делят на по -голямо число, можем да кажем, че
Стъпка 3. е най -големият ни общ фактор.
Стъпка 2. Разделете термините в израза на най -големия общ множител
След това разделете всеки член в уравнението си на най -големия общ фактор, който току -що открихте. Коефициентът на коефициента ще има по -малък коефициент от първоначалното уравнение.
-
Нека да разложим уравнението на най -големия му общ множител 3. За да направим това, ще разделим всеки член на 3.
- 9x2/3 = 3x2
- 27x/3 = 9x
- -3/3 = -1
- По този начин нашият нов израз е 3x2 + 9x - 1.
Стъпка 3. Напишете израза си като произведение на най -големия общ множител, умножено по останалите членове
Новият ви израз не е еквивалентен на оригиналния ви израз, така че би било неправилно да се каже, че изразът е опростен. За да направим нашия нов израз равен на оригинала, трябва да включим факта, че нашият израз е разделен на най -големия общ фактор. Заградете новия си израз в скоби и напишете най -големия общ коефициент на първоначалното уравнение като коефициент на изразяване в скоби.
За нашето примерно уравнение, 3x2 + 9x - 1, можем да заключим израза в скоби и да го умножим по най -големия общ коефициент на първоначалното уравнение, за да получим 3 (3 пъти2 + 9x - 1). Това уравнение е еквивалентно на първоначалното уравнение, 9x2 +27x - 3.
Стъпка 4. Използвайте факторинг, за да опростите дробите
Може би сега се чудите защо се използва факторинг, ако дори след премахване на най -големия общ фактор, новият израз трябва да се умножи отново по този коефициент. Всъщност факторингът позволява на математиците да изпълняват различни трикове, за да опростят изразите. Един от най -лесните му трикове се възползва от факта, че умножаването на числителя и знаменателя на дроб с едно и също число може да доведе до еквивалентни дроби. Вижте следното:
-
Кажете нашия първоначален пример 9x2 + 27x - 3, е кванторът на по -голямата дроб с 3 като числител. Фракцията ще изглежда така: (9x2 + 27x - 3)/3. Можем да използваме факторинг, за да опростим дробите.
- Нека заменим формата на факторинг на нашия оригинален израз с израза в числителя: (3 (3x2 + 9x - 1))/3
- Забележете, че сега и числителят, и знаменателят имат коефициент 3. Разделяйки числителя и знаменателя на 3, получаваме: (3x2 + 9x - 1)/1.
- Тъй като всяка дроб с знаменател 1 е еквивалентна на членовете в числителя, можем да кажем, че нашата начална дроб може да бъде опростена до 3x2 + 9x - 1.
Метод 3 от 3: Прилагане на допълнителни умения за опростяване
Стъпка 1. Опростете дробите, като ги разделите на същите фактори
Както бе отбелязано по -горе, ако числителят и знаменателят на уравнение имат едни и същи фактори, тези фактори могат да бъдат напълно пропуснати във дробата. Понякога това ще изисква факториране в числителя, знаменателя или и двете (както е в горния пример), докато понякога същите фактори често са очевидни. Обърнете внимание, че също е възможно да се разделят условията на числителя чрез уравнението в знаменателя един по един, за да се получи прост израз.
-
Нека да работим върху пример, който не изисква факторинг. За дроби (5x2 + 10x + 20)/10, можем да разделим всеки член в числителя на 10, за да опростим, дори ако коефициентът е 5 в 5x2 не е по -голямо от 10 и следователно 10 не е фактор.
Ако го направим, ще получим ((5x2)/10) + x + 2. Ако искаме, бихме могли да препишем първия член като (1/2) x2 така че получаваме (1/2) x2 +x+2.
Стъпка 2. Използвайте квадратните фактори, за да опростите корените
Изразът под коренния знак се нарича корен израз. Този израз може да бъде опростен чрез идентифициране на квадратните фактори (фактори, които са квадрати на цели числа) и извършване на операцията с квадратен корен поотделно, за да ги премахнете под знака на квадратния корен.
-
Нека направим един прост пример - (90). Ако мислим за 90 като продукт на двата му фактора, 9 и 10, можем да вземем квадратния корен от 9, който е цяло число 3 и да го премахнем от знака на радикала. С други думи:
- √(90)
- √(9 × 10)
- (√(9) × √(10))
- 3 × √(10)
- 3√(10)
Стъпка 3. Добавете показатели при умножаване на два показателя; изваждане при разделяне
Някои алгебрични изрази изискват умножаване или разделяне на степенни степени. Вместо да изчислявате или разделяте всеки експонент ръчно, просто добавете показателите при умножаване и извадете при разделяне, за да спестите време. Тази концепция може да се използва и за опростяване на променливи изрази.
-
Например, нека използваме израза 6x3 × 8x4 + (х17/х15). Във всеки случай, когато се изисква умножение или разделяне на показатели, ще извадим или добавим съответно показатели, за да намерим бързо простия термин. Вижте следното:
- 6x3 × 8x4 + (х17/х15)
- (6 × 8) x3 + 4 + (х17 - 15)
- 48x7 +x2
-
За обяснение как работи, вижте по -долу:
- Умножаването на термини в показатели в действителност е като умножаване на термини не в дълги показатели. Например, тъй като x3 = x × x × x и x 5 = x × x × x × x × x, x3 × x5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) или x8.
- Почти същото, разделянето на показателите е като разделяне на термини, а не на дълги показатели. х5/х3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Тъй като всеки член в числителя може да бъде зачеркнат чрез намиране на същия термин в знаменателя, в числителя остават само два х и нищо в дъното, което дава отговора х2.
Съвети
- Винаги помнете, че трябва да си представите тези числа като положителни и отрицателни знаци. Много хора спират да мислят какъв знак трябва да сложа тук?
- Помолете за помощ, ако имате нужда от нея!
- Опростяването на алгебричните изрази не е лесно, но след като го разберете, ще го използвате до края на живота си.
Внимание
- Винаги търсете подобни племена и не се заблуждавайте по ранг.
- Уверете се, че не добавяте числа, правомощия или операции, които не трябва да се извършват по невнимание.
