Коренната форма е алгебрично изявление, което има знака на квадратния корен (или куб корен или по -висок). Тази форма често може да представлява две числа, които имат една и съща стойност, въпреки че на пръв поглед могат да изглеждат различни (например 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Затова се нуждаем от „стандартна формула“за този вид форма. Ако в стандартната формула има две твърдения, които изглеждат различни, те не са еднакви. Математиците са съгласни, че стандартната формулировка на квадратната форма отговаря на следните изисквания:
- Избягвайте използването на дроби
- Не използвайте частични правомощия
- Избягвайте използването на коренната форма в знаменателя
- Не съдържа умножаването на две коренови форми
- Числата под корена вече не могат да се вкореняват
Една практическа употреба на това е в изпити с множество възможности за избор. Когато намерите отговор, но вашият отговор не е същият като наличните опции, опитайте се да го опростите в стандартна формула. Тъй като създателите на въпроси обикновено пишат отговори в стандартни формули, направете същото с вашите отговори, за да съответстват на техните. В въпроси за есета команди като „опростете отговора си“или „опростете всички корени“означават, че учениците трябва да изпълнят следните стъпки, докато не отговорят на стандартната формула, както е посочено по -горе. Тази стъпка може да се използва и за решаване на уравнения, въпреки че някои видове уравнения са по-лесни за решаване в нестандартни формули.
Стъпка
Стъпка 1. Ако е необходимо, прегледайте правилата за оперативни корени и показатели (и двете са равни - корените са степента на дроби), тъй като ние се нуждаем от тях в този процес
Прегледайте също правилата за опростяване на полиноми и рационални форми, тъй като ще трябва да ги опростим.
Метод 1 от 6: Перфектни квадрати
Стъпка 1. Опростете всички корени, съдържащи перфектни квадратчета
Перфектният квадрат е произведение на число сам по себе си, например 81, което е произведение на 9 x 9. За да опростите перфектния квадрат, просто премахнете квадратния корен и запишете квадратния корен от числото.
- Например 121 е перфектен квадрат, защото 11 x 11 е равно на 121. Така че, можете да опростите корена (121) до 11, като премахнете коренния знак.
- За да направите тази стъпка по -лесна, ще трябва да запомните първите дванадесет перфектни квадрата: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Стъпка 2. Опростете всички корени, съдържащи перфектни кубчета
Перфектен куб е продукт на умножаване на число само по себе си два пъти, например 27, което е произведение на 3 x 3 x 3. За да опростите кореновата форма на перфектен куб, просто премахнете квадратния корен и запишете квадратния корен на броя.
Например, 343 е перфектен куб, защото е произведение на 7 x 7 x 7. Значи кубичният корен от 343 е 7
Метод 2 от 6: Преобразуване на дроби в корени
Или да промените обратното (понякога помага), но не ги смесвайте в същото твърдение като root (5) + 5^(3/2). Ще приемем, че искате да използвате основната форма и ще използваме символите root (n) за квадратния корен и sqrt^3 (n) за корена на куба.
Стъпка 1. Вземете един в степента на дробата и я преобразувайте в кореновата форма, например x^(a/b) = корен в степен b на x^a
Ако квадратният корен е във форма на дроб, преобразувайте го в правилна форма. Например, квадратен корен (2/3) от 4 = корен (4)^3 = 2^3 = 8
Стъпка 2. Преобразувайте отрицателните показатели в дроби, например x^-y = 1/x^y
Тази формула се прилага само за постоянни и рационални показатели. Ако имате работа с форма като 2^x, не я променяйте, дори ако проблемът показва, че x може да бъде дроб или отрицателно число
Стъпка 3. Обединете едно и също племе и опростяване на получената рационална форма.
Метод 3 от 6: Елиминиране на фракциите в корените
Стандартната формула изисква коренът да е цяло число.
Стъпка 1. Погледнете числото под квадратния корен, ако все още съдържа дроб
Ако все пак,…
Стъпка 2. Преминете към дроб, състояща се от два корена, като използвате корена за идентичност (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b)
Не използвайте тази идентичност, ако знаменателят е отрицателен или ако това е променлива, която може да бъде отрицателна. В този случай първо опростете дробата
Стъпка 3. Опростете всеки перфектен квадрат от резултата
Тоест, конвертирайте sqrt (5/4) в sqrt (5)/sqrt (4), след което опростете в sqrt (5)/2.
Стъпка 4. Използвайте други методи за опростяване като опростяване на сложни дроби, комбиниране на равни членове и т.н
Метод 4 от 6: Комбиниране на корени за умножение
Стъпка 1. Ако умножавате една коренова форма с друга, комбинирайте двете в един квадратен корен, като използвате формулата:
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab). Например, променете root (2)*root (6) на root (12).
- Идентичността по -горе, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab), е валидна, ако числото под знака на sqrt не е отрицателно. Не използвайте тази формула, когато a и b са отрицателни, защото ще направите грешката да направите sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1). Изявлението вляво е равно на -1 (или неопределено, ако не използвате сложни числа), докато изявлението вдясно е +1. Ако a и/или b са отрицателни, първо "променете" знака като sqrt (-5) = i*sqrt (5). Ако формулярът под коренния знак е променлива, чийто знак е неизвестен от контекста или може да бъде положителен или отрицателен, оставете го такъв, какъвто е за момента. Можете да използвате по -общата идентичност, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |), която се прилага за всички реални числа a и b, но обикновено тази формула не помага много, защото добавя сложност при използването на функцията sgn (signum).
- Тази идентичност е валидна само ако формите на корените имат един и същ показател. Можете да умножите различни квадратни корени като sqrt (5)*sqrt^3 (7), като ги преобразувате в един и същ квадратен корен. За да направите това, временно преобразувайте квадратния корен в дроб: sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). След това използвайте правилото за умножение, за да умножите двете до квадратния корен от 6125.
Метод 5 от 6: Премахване на квадратния фактор от корена
Стъпка 1. Факториране на несъвършените корени в основни фактори
Фактор е число, което, умножено по друго число, формира число - например 5 и 4 са два фактора от 20. За да разбиете несъвършените корени, запишете всички фактори на числото (или колкото е възможно повече, ако броят е твърде голям), докато не намерите перфектен квадрат.
Например, опитайте се да намерите всички фактори на 45: 1, 3, 5, 9, 15 и 45. 9 е фактор 45 и също е перфектен квадрат (9 = 3^2). 9 x 5 = 45
Стъпка 2. Премахнете всички множители, които са перфектни квадрати от квадратния корен
9 е перфектен квадрат, защото е произведение на 3 x 3. Извадете 9 от квадратния корен и го заменете с 3 пред квадратния корен, оставяйки 5 вътре в квадратния корен. Ако "върнете" 3 обратно в квадратния корен, умножете по себе си, за да направите 9, а ако умножите по 5, връща 45. 3 корена от 5 е прост начин за изразяване на корена от 45.
Тоест sqrt (45) = sqrt (9*5) = sqrt (9)*sqrt (5) = 3*sqrt (5)
Стъпка 3. Намерете перфектния квадрат в променливата
Квадратният корен на квадрат е | a |. Можете да опростите това само до "а", ако известната променлива е положителна. Квадратният корен от a до степен 3, когато е разбит до квадратния корен от квадрат на a - не забравяйте, че показателите се събират, когато умножим две числа към степента на a, така че квадратът a е равен на a на трета мощност.
Следователно, перфектният квадрат във формата на куб е квадрат
Стъпка 4. Премахнете променливата, съдържаща перфектния квадрат от квадратния корен
Сега вземете квадрат от квадратния корен и го променете на | a |. Простата форма на корен a със степен 3 е | a | корен а.
Стъпка 5. Комбинирайте равни условия и опростете всички корени на резултатите от изчисленията
Метод 6 от 6: Рационализирайте знаменателя
Стъпка 1. Стандартната формула изисква знаменателят да е цяло число (или полином, ако съдържа променлива), доколкото е възможно
-
Ако знаменателят се състои от един термин под коренния знак, като например […]/root (5), тогава умножете числителя и знаменателя с този корен, за да получите […]*sqrt (5)/sqrt (5)*sqrt (5) = […]*корен (5)/5.
За куб корени или по -високи, умножете по съответния корен, така че знаменателят да е рационален. Ако знаменателят е корен^3 (5), умножете числителя и знаменателя по sqrt^3 (5)^2
-
Ако знаменателят се състои от добавяне или изваждане на два квадратни корена като sqrt (2) + sqrt (6), умножете квантора и знаменателя по техния конюгат, който е със същата форма, но с противоположен знак. Тогава […]/(корен (2) + корен (6)) = […] (корен (2) -корен (6))/(корен (2) + корен (6)) (корен (2) -корен (6)). След това използвайте формулата за идентичност за разликата на два квадрата [(a + b) (ab) = a^2-b^2], за да рационализирате знаменателя, за да опростите (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4.
- Това важи и за знаменатели като 5 + sqrt (3), тъй като всички цели числа са корени на други цели числа. [1/(5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5^ 2-sqrt (3)^2) = (5-sqrt (3))/(25-3) = (5-sqrt (3))/22]
- Този метод се прилага и за добавяне на корени като sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7). Ако ги групирате в (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) и умножите по (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7), отговорът не е в рационална форма, но все още в a+b*корен (30), където a и b вече са рационални числа. След това повторете процеса с конюгатите a+b*sqrt (30) и (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) ще бъде рационално. По същество, ако можете да използвате този трик, за да премахнете един корен знак в знаменателя, можете да го повторите много пъти, за да премахнете всички корени.
- Този метод може да се използва и за знаменатели, които съдържат по -висок корен, като четвърти корен от 3 или седми код от 9. Умножете числителя и знаменателя с конюгата на знаменателя. За съжаление не можем директно да получим конюгата на знаменателя и е трудно да се направи това. Можем да намерим отговора в книга по алгебра по теория на числата, но няма да навлизам в това.
Стъпка 2. Сега знаменателят е в рационална форма, но числителят изглежда объркан
Сега всичко, което трябва да направите, е да го умножите по конюгата на знаменателя. Продължете напред и умножете, както бихме умножили полиноми. Проверете дали някои термини могат да бъдат пропуснати, опростени или комбинирани, ако е възможно.
Стъпка 3. Ако знаменателят е отрицателно цяло число, умножете числителя и знаменателя с -1, за да го направите положително
Съвети
- Можете да търсите онлайн за сайтове, които могат да помогнат за опростяване на кореновите форми. Просто въведете уравнението с коренния знак и след натискане на Enter ще се появи отговорът.
- За по -прости въпроси може да не използвате всички стъпки в тази статия. За по -сложни въпроси може да се наложи да използвате няколко стъпки повече от веднъж. Използвайте „простите“стъпки няколко пъти и проверете дали отговорът ви отговаря на стандартните критерии за формулиране, които обсъдихме по -рано. Ако отговорът ви е в стандартната формула, сте готови; но ако не, можете да проверите една от стъпките по -горе, за да ви помогне да го направите.
- Повечето препратки към "препоръчителната стандартна формула" за формата на корени се отнасят и за комплексните числа (i = корен (-1)). Дори ако едно изявление съдържа „i“вместо корен, избягвайте знаменателите, които все още съдържат i колкото е възможно повече.
- Някои от инструкциите в тази статия предполагат, че всички корени са квадрати. Същите общи принципи се прилагат към корените на висшите сили, въпреки че някои части (особено рационализирането на знаменателя) могат да бъдат доста трудни за работа. Решете сами каква форма искате, като sqr^3 (4) или sqr^3 (2)^2. (Не помня каква форма обикновено се предлага в учебниците).
- Някои от инструкциите в тази статия използват думата "стандартна формула", за да опишат "правилна форма". Разликата е, че стандартната формула приема само формата 1+sqrt (2) или sqrt (2) +1 и разглежда другите форми като нестандартни; Обикновената форма предполага, че вие, читателят, сте достатъчно умни, за да видите „сходството“на тези две числа, въпреки че те не са идентични в писмена форма („същото“означава в тяхното аритметично свойство (комутативно допълнение), а не в тяхното алгебрично свойство (корен (2) е коренът неотрицателен на x^2-2)). Надяваме се, че читателите ще разберат лекото небрежност при използването на тази терминология.
- Ако някои от уликите изглеждат двусмислени или противоречиви, направете всички стъпки, които са недвусмислени и последователни, и след това изберете формата, която предпочитате.
